Išči

    Conwayjeva notacija poliedrov

    Ta primer kaže, kako lahko 11 novih oblik dobimo iz kocke z uporabo 3 postopkov. Novi poliedri so prikazani kot podobe na površini kocke, da so topološke spremembe bolj opazne. Oglišča so označena na vseh oblikah s krogci.

    Conwayjeva notacija poliedrov se uporablja za opis poliedrov na osnovi osnovnega poliedra, ki ga spremenimo z različnimi operacijami.

    Osnovni poliedri so platonska telesa, ki jih prikažemo s prvo črko njihovega imena (T, O, C, I, D) prizme (Pn) antiprizme (An) ali piramide (Yn). Vsak konveksni polieder lahko služi kot osnova, dokler lahko na njem izvajamo operacije.

    Angleški matematik John Horton Conway (rojen 1937) je razširil zamisel o uporabi operatorjev kot je prisekanje, da bi izdelal sorodne poliedre z isto simetrijo. Njegovi operatorji lahko generirajo vsa arhimedska telesa in Catalanova telesa in pravilnih osnovnih teles. Uporabljeni v skupini ti operatorji omogočajo nastanek mnogih poliedrov višjega reda.

    Vsebina

    Operacije nad poliedri

    operator ime alternativna
    konstrukcija
    oglišča robovi stranske ploskve opis
    osnovno telo v e f oblika osnove
    r reflekt
    (Hart)
    v e f zrcalna slika kiralnih oblik
    d dual f e v dualno telo osnovnega poliedra – vsako oglišče kreira novo stransko ploskev
    a ambo e 2e 2+e robovi so nova oglišča, stara oglišča izginejo. (rektificirano)
    j združen da e+2 2e e zametek je povečan s piramidami v dovolj veliki višini, tako, da imata 2 koplanarna trikotnika iz dveh različnih piramid skupen rob.
    t prisekan dkd 2e 3e e+2 prisekana vsa oglišča.
    -- -- dk 2e 3e e+2 dual oblike kis, (dvojna prisekanost)
    -- -- kd e+2 3e 2e kis oblika duala
    k kis dtd e+2 3e 2e dvigne piramido na vsaki stranski ploskvi.
    c ožlebljen e+v 4e 2e+f nove šestkotne stranske ploskve se dodajo namesto robov.
    - - dc 2e+f 4e e+v
    e razširjen aa 2e 4e 2e+2 vsako oglišče ustvari novo stransko ploskev in vsak rob ustvari nov štirikotnik. (kantelirano)
    o orto de 2e+2 4e 2e vsaka n-kotnikova stranska ploskev se razdeli v n štirikotnike.
    p propeler
    (Hart)
    v+2e 4e e+f vrtenje stranskih ploskev, ki ustvari štirikotnike na ogliščih (sebi-dualne)
    - - dp e+f 4e v+2e
    s prirezanost dg 2e 5e 3e+2 "razširi in zvij" – vsako oglišče ustvari novo stransko ploskev in vsak rob ustvari dva nova trikotnika
    g giro ds 3e+2 5e 2e vsaka n-kotnikova stranska ploskev se deli na n petkotnikov.
    b nagnjen ta 4e 6e 2e+2 nove stranske ploskve se dodajo na mesta robov in oglišč omniprisekanost (znana tudi kot kantiprisekanost v višjih politopih).
    m meta db & kj 2e+2 6e 4e n-kotne stranske ploskve se razdelijo v 2n trikotnikov

    Posebne oblike postopek kis ima variacijo kn, ki doda piramide na stranske ploskve, ki imajo n stranic operator prisekanosti ima variante tn, ki samo prisekajo oglišča z redom n.

    Operatorji se izvajajo od desne proti levi. Zgled: * dual tetraedra je dT

    Vse operacije ohranjajo simetrijo, razen zvijanja.

    Zgledi

    Kocka lahko generira vse konveksne uniformne poliedre z oktaedrsko simetrijo.

    kocka
    "osnova" (zametek)
    ambo
    (rektificirano)
    prisekano dvojno prisekano razširjeno
    (kantelirano)
    nagnjeno
    (omniprisekano)
    prirezanost
    Uniform polyhedron-43-t0.png
    C
    Uniform polyhedron-43-t1.png
    aC = djC
    Uniform polyhedron-43-t01.png
    tC = dkdC
    Uniform polyhedron-43-t12.png
    tdC = dkC
    Uniform polyhedron-43-t02.png
    eC = aaC = doC
    Uniform polyhedron-43-t012.png
    bC = taC = dmC = dkjC
    Uniform polyhedron-43-s012.png
    sC = dgC
    dualni združen kis
    (razpolovljeno oglišče)
    orto
    (razpolovljen rob)
    meta
    (polno razpolovljeno)
    giro
    Uniform polyhedron-43-t2.png
    dC
    Rhombicdodecahedron.jpg
    jC = daC
    Triakisoctahedron.jpg
    kdC = dtC
    Tetrakishexahedron.jpg
    kC = dtdC
    Deltoidalicositetrahedron.jpg
    oC = deC = daaC
    Disdyakisdodecahedron.jpg
    mC = dbC = kjC
    Pentagonalicositetrahedronccw.jpg
    gC = dsC

    Generiranje pravilnih osnovnih teles

    Vseh pet pravilnih poliedrov se lahko generira iz prizmatičnih generatorjev z nič ali eno operacijo.

    Razširitev Conwayjevih simbolov

    Zgornje operacije omogočajo, da se polpravilni poliedri in Catalanova telesa generirajo iz pravilnih poliedrov. S kombinacijo operacij lahko dobimo še več višjih operacij. Veliko zanimivih poliedrov višjega reda zahteva sestavo novih operatorjev.

    Geometrijski umetnik George William Hart (rojen 1955) je kreiral operacijo, ki jo je imenoval propeler ter še eno operacijo z imenom reflekt s katero je kreiral zrcalne slike vrtečih se oblik.

    Geometrijske koordinate izpeljanih oblik

    Primer: Dodekaederska osnova kot sferno tlakovanje
    Uniform tiling 532-t0.png
    D
    Uniform tiling 532-t01.png
    tD
    Uniform tiling 532-t1.png
    aD
    Uniform tiling 532-t12.png
    tdD
    Uniform tiling 532-t02.png
    eD
    Uniform tiling 532-t012.png
    teD
    Spherical snub dodecahedron.png
    sD
    Uniform tiling 532-t2.png
    dD
    Icosahedral reflection domains.png
    dteD
    Primer: Osnova za evklidsko šestkotno tlakovanje (H)
    Uniform tiling 63-t0.png
    H
    Uniform tiling 63-t01.png
    tH
    Uniform tiling 63-t1.png
    aH
    Uniform tiling 63-t12.png
    tdH = H
    Uniform tiling 63-t02.png
    eH
    Uniform tiling 63-t012.png
    teH
    Uniform tiling 63-snub.png
    sH
    Uniform tiling 63-t2.png
    dH
    Tiling Dual Semiregular V3-12-12 Triakis Triangular.svg
    dtH
    Tiling Dual Semiregular V3-6-3-6 Quasiregular Rhombic.svg
    daH
    Uniform tiling 63-t2.png
    dtdH = dH
    Tiling Dual Semiregular V3-4-6-4 Deltoidal Trihexagonal.svg
    deH
    Tiling Dual Semiregular V4-6-12 Bisected Hexagonal.svg
    dteH
    Tiling Dual Semiregular V3-3-3-3-6 Floret Pentagonal.svg
    dsH
    Primer: Prosojne osnove za tetraeder (T)
    Tetrahedron.jpg
    T
    Truncatedtetrahedron.jpg
    tT
    Octahedron.svg
    T
    Truncatedtetrahedron.jpg
    tdT
    Cuboctahedron.jpg
    eT
    Truncatedoctahedron.jpg
    bT
    Icosahedron.jpg
    sT
    Tetrahedron.jpg
    dT
    Triakistetrahedron.jpg
    dtT
    Hexahedron.jpg
    jT
    Triakistetrahedron.jpg
    kT
    Rhombicdodecahedron.jpg
    oT
    Tetrakishexahedron.jpg
    mT
    Dodecahedron.jpg
    gT
    Primer: Osnova za hiperbolično sedemkotno tlakovanje
    {7,3}
    "osnova"
    prisekano ambo
    (rektificirano)
    dvojno prisekano razširjeno
    (kantelirano)
    bevel
    (omniprisekano)
    prirezana oblika
    Uniform tiling 73-t0.png Uniform tiling 73-t01.png Uniform tiling 73-t1.png Uniform tiling 73-t12.png Uniform tiling 73-t02.png Uniform tiling 73-t012.png Uniform tiling 73-snub.png
    dual združeno kis
    (razpolovitev oglišča)
    orto
    (razpolovitev roba)
    meta
    (polna razpolovitev)
    giro
    Uniform tiling 73-t2.png Ord7 triakis triang til.png Order73 qreg rhombic til.png Order3 heptakis heptagonal til.png Deltoidal triheptagonal til.png Order-3 heptakis heptagonal tiling.png Ord7 3 floret penta til.png

    Ostali poliedri

    Tetraedrska simetrija

    Oktaedrska simetrija

    Ikozaedrska simetrija

    Rombska:

    Trikotni:

    Dualni trikotni:

    Trikotni kiralni:

    Dualni trikotni kiralni:

    Glej tudi

    Zunanje povezave