Išči

    Coxeterjev element

    Coxeterjevo število h je v matematiki red Coxeterjevega elementa, nereducibilne Coxeterjeve grupe ter tudi korenskega sistema ali njenih Weylovih grup.

    Imenuje se po britansko-kanadskem matematiku in geometru Haroldu Scottu MacDonaldu Coxeterju (1907–2003).[1]

    Vsebina

    Definicija

    Znanih je več načinov definiranja Coxeterjevega števila h za nereducibilni korenski sistem.

    Coxeterjev element je zmnožek vseh enostavnih zrcaljenj. Zmnožek je odvisen od zaporedja v katerem ga uporabimo. Različna zaporedja dajo konjugirane elemente, ki imajo vsi isti red.

    Coxeterjeva grupa Coxeterjevo število h dualno Coxeterjevo število stopnja osnovnih invariant
    An CDel node.pngCDel 3.pngCDel node.pngCDel 3.png...CDel 3.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel node.png n + 1 n + 1 2, 3, 4, ..., n + 1
    Bn CDel node.pngCDel 4.pngCDel node.pngCDel 3.png...CDel 3.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel node.png 2n 2n − 1 2, 4, 6, ..., 2n
    Cn n + 1
    Dn CDel nodea.pngCDel 3a.pngCDel branch.pngCDel 3a.png...CDel 3a.pngCDel nodea.pngCDel 3a.pngCDel nodea.png 2n − 2 2n − 2 n; 2, 4, 6, ..., 2n − 2
    E6 CDel nodea.pngCDel 3a.pngCDel nodea.pngCDel 3a.pngCDel branch.pngCDel 3a.pngCDel nodea.pngCDel 3a.pngCDel nodea.png 12 12 2, 5, 6, 8, 9, 12
    E7 CDel nodea.pngCDel 3a.pngCDel nodea.pngCDel 3a.pngCDel branch.pngCDel 3a.pngCDel nodea.pngCDel 3a.pngCDel nodea.pngCDel 3a.pngCDel nodea.png 18 18 2, 6, 8, 10, 12, 14, 18
    E8 CDel nodea.pngCDel 3a.pngCDel nodea.pngCDel 3a.pngCDel branch.pngCDel 3a.pngCDel nodea.pngCDel 3a.pngCDel nodea.pngCDel 3a.pngCDel nodea.pngCDel 3a.pngCDel nodea.png 30 30 2, 8, 12, 14, 18, 20, 24, 30
    F4 CDel node.pngCDel 3.pngCDel node.pngCDel 4.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel node.png 12 9 2, 6, 8, 12
    G2 = I2(6) CDel node.pngCDel 6.pngCDel node.png 6 4 2, 6
    H3 CDel node.pngCDel 5.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel node.png 10 2, 6, 10
    H4 CDel node.pngCDel 5.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel node.png 30 2, 12, 20, 30
    I2(p) CDel node.pngCDel p.pngCDel node.png p 2, p

    Coxeterjeva ravnina

    Projekcija korenskega sistema E8 v Coxeterjevo ravnino, ki kaže 30-kratno simetrijo.

    Za dan Coxeterjev element w obstoja ravnina P na kateri w deluje kot vrtenje za 2π/h. Imenujemo jo Coxeterjeva ravnina. Na njej ima P lastne vrednosti ei/h in e−2πi/h = ei(h−1)/h [2]

    Coxeterjeva ravnina se pogosto uporablja za risanje diagramov s politopi, ki imajo višje razsežnosti in za korenske sisteme. To pomeni risanje oglišč in robov politopov ali korenov (in nekaterih robov, ki jih povezujejo) pravokotno projiciranih na Coxeterjevo ravnino, kar da Petriejeve mnogokotnike s h-kratno vrtilno simetrijo. Pri korenskih sistemih se noben koren ne preslika v nič.

    Projekcije na Coxeterjevo ravnino so za platonska telesa prikazane spodaj:

    Glej tudi

    Sklici

    Viri

    Zunanje povezave