Išči

    Coxeterjeva grupa

    Coxeterjeva grupa je v matematiki abstraktna grupa, ki omogoča formalni opis grupe v okviru zrcalnih simetrij. Coxeterjeve grupe so končne evklidske zrcalne grupe. Kot zgled služijo simetrijske grupe pravilnih poliedrov. Coxeterjeve grupe so končne in ne morejo biti opisane s simetrijo in evklidskim zrcaljenjem.

    Coxeterjeve grupe se veliko uporabljajo. Zgledi končnih Coxeterjevih grup vključujejo grupe simetrije pravilnih politopov in Weylovih grup enostavnih Liejevih algeber. Zgled neskončne Coxeterjeve grupe so tudi trikotniške grupe, ki odgovarjajo pravilni teselaciji evklidske in hiperbolične ravnine.

    Grupe se imenujejo po angleško-kanadskem matematiku in geometru H. S. MacDonaldu Coxeterju (1907–2003).

    Vsebina

    Definicija

    Coxeterjevo grupo se lahko definira kot grupo s predstavitvijo grupe kot:

    kjer je:

    Pogoj pomeni, da se odnosa v obliki ne da prikazati.

    Končne Coxeterjeve grupe

    Coxeterjevi grafi končnih Coxeterjevih grup.

    Razvrščanje

    Končne Coxeterjeve grupe so razvrstili na osnovi Coxeter-Dinkinovih diagramov. Vse pa so predstavljene z zrcalnimi grupami končnorazsežnih evklidskih prostorov.

    Končne Coxeterjeve grupe so sestavljene iz treh enoparameterskih družin z rastočim rangom , eno enoparametersko družino z razsežnostjo dva () in šestimi posebnimi grupami in .

    Weylove grupe

    Glavni članek: Weylove grupe.

    Mnoge Coxeterjeve grupe, vendar ne vse, so Weylove grupe, vsaka Weylova grupa pa se lahko prikaže kot Coxeterjeva grupa. Weylove grupe sta družini in ter

    Značilnosti

    Nekatere značilnosti končnih Coxeterjevih grup so podane v naslednji preglednici:

    simbol
    grupe
    drugi
    simbol
    notacija z oklepaji rank red sorodni politopi Coxeter-Dinkinov diagram
    An An [3n] n (n + 1)! n-simpleks CDel node.pngCDel 3.pngCDel node.pngCDel 3.png..CDel 3.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel node.png
    BCn Cn [4,3n-1] n 2n n! n-hiperkocka / n-ortopleks CDel node.pngCDel 4.pngCDel node.pngCDel 3.png...CDel 3.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel node.png
    Dn Bn [3n-3,1,1] n 2n−1 n! n-polhiperkocka CDel nodes.pngCDel split2.pngCDel node.pngCDel 3.png...CDel 3.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel node.png
    E6 E6 [32,2,1] 6 72x6! = 51840 221, 122 CDel nodea.pngCDel 3a.pngCDel nodea.pngCDel 3a.pngCDel branch.pngCDel 3a.pngCDel nodea.pngCDel 3a.pngCDel nodea.png
    E7 E7 [33,2,1] 7 72x8! = 2903040 321, 231, 132 CDel nodea.pngCDel 3a.pngCDel nodea.pngCDel 3a.pngCDel branch.pngCDel 3a.pngCDel nodea.pngCDel 3a.pngCDel nodea.pngCDel 3a.pngCDel nodea.png
    E8 E8 [34,2,1] 8 192x10! = 696729600 421, 241, 142 CDel nodea.pngCDel 3a.pngCDel nodea.pngCDel 3a.pngCDel branch.pngCDel 3a.pngCDel nodea.pngCDel 3a.pngCDel nodea.pngCDel 3a.pngCDel nodea.pngCDel 3a.pngCDel nodea.png
    F4 F4 [3,4,3] 4 1152 24-celica CDel node.pngCDel 3.pngCDel node.pngCDel 4.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel node.png
    G2 - [6] 2 12 šestkotnik CDel node.pngCDel 6.pngCDel node.png
    H2 G2 [5] 2 10 petkotnik CDel node.pngCDel 5.pngCDel node.png
    H3 G3 [3,5] 3 120 ikozaeder / dodekaeder CDel node.pngCDel 5.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel node.png
    H4 G4 [3,3,5] 4 14400 120-celica / 600-celica CDel node.pngCDel 5.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel node.png
    I2(p) D2p [p] 2 2p p-kotnik CDel node.pngCDel p.pngCDel node.png

    Simetrijske grupe pravilnih politopov

    Vse simetrijske grupe pravilnih politopov so končne Coxeterjeve grupe.

    Znane so tri skupine pravilnih politopov v vseh mogočih razsežnostih. Simetrijska grupa pravilnega n-simpleksa je simetrijska grupa Sn+1, ki je znana tudi kot Coxeterjeva grupa tipa An. Simetrijska grupa n-kocke in njene dualne oblike n-ortopleksa je BCn, ki pa je znana kot hiperoktaederska grupa.

    Posebni pravilni politopi v dveh, treh in štirih razsežnostih odgovarjajo drugim Coxeterjevim grupam. V dveh razsežnostih diedrske grupe, ki je grupa simetrije pravilnih mnogokotnikov, tvorijo skupino I2(p). V treh razsežnostih je simetrijska grupa pravilnih dodekaedrov in njihove dualne oblike ikozaedra je H3, ki je znana kot polna ikozaederska grupa. V štirih razsežnostih so znani trije posebni pravilni politopi. To so 24-celica, 120-celica in 600-celica.

    Coxeterjeve grupe tipa Dn, E6, E7 in E8 so polpravilni politopi.


    Pregled družin politopov
    grupa An BCn Dn
    E6 E7 E8 F4 G2
    Hn In(p)
    2 2-simplex t0.svg
    CDel node 1.pngCDel 3.pngCDel node.png

    (trikotnik)

    2-cube.svg
    CDel node 1.pngCDel 4.pngCDel node.png

    kvadrat

      Regular polygon 6.svg
    CDel node 1.pngCDel 6.pngCDel node.png
    šestkotnik
    Regular polygon 5.svg
    CDel node 1.pngCDel 5.pngCDel node.png
    petkotnik
    CDel node 1.pngCDel p.pngCDel node.png
    p-kotnik
    3 3-simplex t0.svg
    CDel node 1.pngCDel 3.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel node.png
    tetraeder
    3-cube t0.svg
    CDel node 1.pngCDel 4.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel node.png
    kocka
    3-cube t2.svg
    CDel node 1.pngCDel 3.pngCDel node.pngCDel 4.pngCDel node.png
    oktaeder
    3-demicube.svg
    CDel nodea 1.pngCDel 3a.pngCDel branch.png
    tetraeder
      Dodecahedron t0 H3.png
    CDel node 1.pngCDel 5.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel node.png
    dodekaeder
    Icosahedron t0 H3.png
    CDel node 1.pngCDel 3.pngCDel node.pngCDel 5.pngCDel node.png
    ikozaeder
    4 4-simplex t0.svg
    CDel node 1.pngCDel 3.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel node.png
    5-celica
    4-cube t0.svg
    CDel node 1.pngCDel 4.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel node.png

    teserakt

    4-cube t3.svg
    CDel node 1.pngCDel 3.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel node.pngCDel 4.pngCDel node.png
    16-celica
    4-demicube t0 D4.svg
    CDel nodea 1.pngCDel 3a.pngCDel branch.pngCDel 3a.pngCDel nodea.png

    polteserakt

    24-cell t0 F4.svg
    CDel node 1.pngCDel 3.pngCDel node.pngCDel 4.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel node.png
    24-celica
    120-cell graph H4.svg
    CDel node 1.pngCDel 5.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel node.png
    120-celica
    600-cell graph H4.svg
    CDel node 1.pngCDel 3.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel node.pngCDel 5.pngCDel node.png
    600-celica
    5 5-simplex t0.svg
    CDel node 1.pngCDel 3.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel node.png
    5-simpleks
    5-cube graph.svg
    CDel node 1.pngCDel 4.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel node.png
    5-kocka
    5-orthoplex.svg
    CDel node 1.pngCDel 3.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel node.pngCDel 4.pngCDel node.png
    5-ortopleks
    5-demicube.svg
    CDel nodea 1.pngCDel 3a.pngCDel branch.pngCDel 3a.pngCDel nodea.pngCDel 3a.pngCDel nodea.png
    5-polkocka
       
    6 6-simplex t0.svg
    CDel node 1.pngCDel 3.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel node.png
    6-simpleks
    6-cube graph.svg
    CDel node 1.pngCDel 4.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel node.png
    6-kocka
    6-orthoplex.svg
    CDel node 1.pngCDel 3.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel node.pngCDel 4.pngCDel node.png
    6-ortopleks
    6-demicube.svg
    CDel nodea 1.pngCDel 3a.pngCDel branch.pngCDel 3a.pngCDel nodea.pngCDel 3a.pngCDel nodea.pngCDel 3a.pngCDel nodea.png
    6-polkocka
    Up 1 22 t0 E6.svg
    CDel nodea.pngCDel 3a.pngCDel nodea.pngCDel 3a.pngCDel branch 01lr.pngCDel 3a.pngCDel nodea.pngCDel 3a.pngCDel nodea.png
    122
    E6 graph.svg
    CDel nodea.pngCDel 3a.pngCDel nodea.pngCDel 3a.pngCDel branch.pngCDel 3a.pngCDel nodea.pngCDel 3a.pngCDel nodea 1.png
    221
     
    7 7-simplex t0.svg
    CDel node 1.pngCDel 3.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel node.png
    7-simpleks
    7-cube graph.svg
    CDel node 1.pngCDel 4.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel node.png
    7-kocka
    7-orthoplex.svg
    CDel node 1.pngCDel 3.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel node.pngCDel 4.pngCDel node.png
    7-ortopleks
    7-demicube.svg
    CDel nodea 1.pngCDel 3a.pngCDel branch.pngCDel 3a.pngCDel nodea.pngCDel 3a.pngCDel nodea.pngCDel 3a.pngCDel nodea.pngCDel 3a.pngCDel nodea.png
    7-polkocka
    Gosset 1 32 petrie.svg
    CDel nodea.pngCDel 3a.pngCDel nodea.pngCDel 3a.pngCDel nodea.pngCDel 3a.pngCDel branch 01lr.pngCDel 3a.pngCDel nodea.pngCDel 3a.pngCDel nodea.png
    132
    Gosset 2 31 polytope.svg
    CDel nodea.pngCDel 3a.pngCDel nodea.pngCDel 3a.pngCDel nodea.pngCDel 3a.pngCDel branch.pngCDel 3a.pngCDel nodea.pngCDel 3a.pngCDel nodea 1.png
    231
    E7 graph.svg
    CDel nodea 1.pngCDel 3a.pngCDel nodea.pngCDel 3a.pngCDel nodea.pngCDel 3a.pngCDel branch.pngCDel 3a.pngCDel nodea.pngCDel 3a.pngCDel nodea.png
    321
     
    8 8-simplex t0.svg
    CDel node 1.pngCDel 3.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel node.png
    8-simpleks
    8-cube.svg
    CDel node 1.pngCDel 4.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel node.png
    8-kocka
    8-orthoplex.svg
    CDel node 1.pngCDel 3.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel node.pngCDel 4.pngCDel node.png
    8-ortopleks
    8-demicube.svg
    CDel nodea 1.pngCDel 3a.pngCDel branch.pngCDel 3a.pngCDel nodea.pngCDel 3a.pngCDel nodea.pngCDel 3a.pngCDel nodea.pngCDel 3a.pngCDel nodea.pngCDel 3a.pngCDel nodea.png
    8-polkocka
    Gosset 1 42 polytope petrie.svg
    CDel nodea.pngCDel 3a.pngCDel nodea.pngCDel 3a.pngCDel nodea.pngCDel 3a.pngCDel nodea.pngCDel 3a.pngCDel branch 01lr.pngCDel 3a.pngCDel nodea.pngCDel 3a.pngCDel nodea.png
    142
    2 41 polytope petrie.svg
    CDel nodea.pngCDel 3a.pngCDel nodea.pngCDel 3a.pngCDel nodea.pngCDel 3a.pngCDel nodea.pngCDel 3a.pngCDel branch.pngCDel 3a.pngCDel nodea.pngCDel 3a.pngCDel nodea 1.png
    241
    Gosset 4 21 polytope petrie.svg
    CDel nodea 1.pngCDel 3a.pngCDel nodea.pngCDel 3a.pngCDel nodea.pngCDel 3a.pngCDel nodea.pngCDel 3a.pngCDel branch.pngCDel 3a.pngCDel nodea.pngCDel 3a.pngCDel nodea.png
    421
     
    9 9-simplex t0.svg
    CDel node 1.pngCDel 3.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel node.png
    9-simpleks
    9-cube.svg
    CDel node 1.pngCDel 4.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel node.png
    9-kocka
    9-orthoplex.svg
    CDel node 1.pngCDel 3.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel node.pngCDel 4.pngCDel node.png
    9-ortopleks
    9-demicube.svg
    CDel nodea 1.pngCDel 3a.pngCDel branch.pngCDel 3a.pngCDel nodea.pngCDel 3a.pngCDel nodea.pngCDel 3a.pngCDel nodea.pngCDel 3a.pngCDel nodea.pngCDel 3a.pngCDel nodea.pngCDel 3a.pngCDel nodea.png
    9-polkocka
     
    10 10-simplex t0.svg
    CDel node 1.pngCDel 3.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel node.png
    10-simpleks
    10-cube.svg
    CDel node 1.pngCDel 4.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel node.png
    10-kocka
    10-orthoplex.svg
    CDel node 1.pngCDel 3.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel node.pngCDel 4.pngCDel node.png
    10-ortopleks
    10-demicube.svg
    CDel nodea 1.pngCDel 3a.pngCDel branch.pngCDel 3a.pngCDel nodea.pngCDel 3a.pngCDel nodea.pngCDel 3a.pngCDel nodea.pngCDel 3a.pngCDel nodea.pngCDel 3a.pngCDel nodea.pngCDel 3a.pngCDel nodea.pngCDel 3a.pngCDel nodea.png
    10-polkocka
     
    družina
    n
    n-simpleks n-hiperkocka n-ortopleks n-polkocka 1k2 2k1 k21

    Opomba:Oznake: An, Bn, Cn, Dn, Hn, E6, E7, E8, F4 in G2 so Coxeterjeva števila za posamezne Coxeterjeve grupe

    Afine Coxeterjeve grupe

    Afine Coxeterjeve grupe so druga pomembna skupina Coxeterjevih grup. To so tudi končne grupe, toda vsaka vsebuje normalno Abelovo podgrupo tako, da je faktorska grupa končna. Vsekakor pa je faktorska grupa Coxeterjeva grupa. Coxeterjev graf se dobi iz Coxeterjevega grafa Coxeterjeve grupe z dodajanjem novega vozlišča in dveh dodatnih povezav. V nadaljevanju so prikazane afine Coxeterjeve grupe.

    simbol
    grupe
    Wittov
    simbol
    notacija z oklepaji sorodne uniformne teselacije Coxeter-Dinkinov diagram
    Pn+1 [3[n+1]] simplektično satovje
    :trikotno tlakovanje
    :tetraedersko-oktaedersko satovje
    CDel branch.pngCDel 3ab.pngCDel nodes.pngCDel 3ab.png...CDel 3ab.pngCDel nodes.pngCDel 3ab.pngCDel branch.png
    Sn+1 [4,3n-2,31,1] polkockino satovje CDel node.pngCDel 4.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel node.pngCDel 3.png...CDel 3.pngCDel node.pngCDel split1.pngCDel nodes.png
    Rn+1 [4,3n-1,4] hiperkockino satovje CDel node.pngCDel 4.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel node.pngCDel 3.png...CDel 3.pngCDel node.pngCDel 4.pngCDel node.png
    Qn+1 [ 31,1,3n-3,31,1] polhiperkubično satovje CDel nodes.pngCDel split2.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel node.pngCDel 3.png...CDel 3.pngCDel node.pngCDel split1.pngCDel nodes.png
    T7 [32,2,2] 222 CDel nodea.pngCDel 3a.pngCDel nodea.pngCDel 3a.pngCDel branch.pngCDel 3a.pngCDel nodea.pngCDel 3a.pngCDel nodea.png
    T8 [33,3,1] 331, 133 CDel nodea.pngCDel 3a.pngCDel nodea.pngCDel 3a.pngCDel nodea.pngCDel 3a.pngCDel branch.pngCDel 3a.pngCDel nodea.pngCDel 3a.pngCDel nodea.pngCDel 3a.pngCDel nodea.png
    T9 [35,2,1] 521, 251, 152 CDel nodea.pngCDel 3a.pngCDel nodea.pngCDel 3a.pngCDel branch.pngCDel 3a.pngCDel nodea.pngCDel 3a.pngCDel nodea.pngCDel 3a.pngCDel nodea.pngCDel 3a.pngCDel nodea.pngCDel 3a.pngCDel nodea.png
    U5 [3,4,3,3] 16-cell satovje
    24-celično satovje
    CDel node.pngCDel 3.pngCDel node.pngCDel 4.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel node.png
    V3 [6,3] šestkotno tlakovanje in
    trikotno tlakovanje
    CDel node.pngCDel 6.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel node.png
    W2 [∞] apeirogon CDel node.pngCDel infin.pngCDel node.png

    Zunanje povezave