Išči

    Coxeterjeva notacija

    Coxeterjeva notacija je v geometriji sistem, ki omogoča razvrščanje simetrijskih grup s tem, da opiše kote med osnovnimi zrcaljenji Coxeterjeve grupe. Uporablja se označevanje z oklepaji, kar lahko spremenimo za nekatere podgrupe.

    Notacija se imenuje po kanadskem geometru Haroldu Scottu MacDonaldu Coxeterju (1907 – 2003). Točneje jo je definiral ameriški matematik Norman Johnson (rojen 1930).

    Vsebina

    Zrcalne grupe

    Za Coxeterjeve grupe, ki so definirane s čistim zrcaljenjem, je neposredna povezava med notacijo z oklepaji in Coxeter-Dinkinovimi diagrami. Število v notaciji z oklepaji predstavlja red zrcaljenja v vejah Coxeterjevega grafa.

    Coxeterjeva notacija se poenostavi s potencami, ki predstavljajo število položajev v oklepajih v vrstici za linearne grafe. Tako je grupa An predstavljena z [3n-1], kar pomeni n vozlov povezanih z n-1 vejami reda 3.

    Nadaljnji razvejani grafi se pričnejo kot števila, ki so dana kot navpični položaji v oklepajih. Poenostavljeni so z večkratnimi nadpisanimi vrednostmi na dolžini oklepaja.

    Coxeterjeve grupe, ki jih tvorijo ciklični grafi se prikažejo z oklepaji znotraj oklepaja. Zgled: [(a,b,c)] za trikotniško grupo (a b c). Kadar so enaki, jih lahko grupiramo glede na dolžino cikla v oklepaju. Zgled: [(3,3,3,3)] = [3[4]].

    Končne Coxeterjeve grupe
    rang simbol
    grupe
    notacija z oklepaji Coxeterjev graf
    2 A2 [3] CDel node.pngCDel 3.pngCDel node.png
    2 BC2 [4] CDel node.pngCDel 4.pngCDel node.png
    2 H2 [5] CDel node.pngCDel 5.pngCDel node.png
    2 G2 [6] CDel node.pngCDel 6.pngCDel node.png
    2 I2(p) [p] CDel node.pngCDel p.pngCDel node.png
    3 H3 [5,3] CDel node.pngCDel 5.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel node.png
    3 A3 [3,3] CDel node.pngCDel 3.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel node.png
    3 BC3 [4,3] CDel node.pngCDel 4.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel node.png
    4 A4 [3,3,3] CDel node.pngCDel 3.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel node.png
    4 BC4 [4,3,3] CDel node.pngCDel 4.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel node.png
    4 D4 [31,1,1] CDel nodes.pngCDel split2.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel node.png
    4 F4 [3,4,3] CDel node.pngCDel 3.pngCDel node.pngCDel 4.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel node.png
    4 H4 [5,3,3] CDel node.pngCDel 5.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel node.png
    n An [3n-1] CDel node.pngCDel 3.pngCDel node.pngCDel 3.png..CDel 3.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel node.png
    n BCn [4,3n-2] CDel node.pngCDel 4.pngCDel node.pngCDel 3.png...CDel 3.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel node.png
    n Dn [3n-3,1,1] CDel nodes.pngCDel split2.pngCDel node.pngCDel 3.png...CDel 3.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel node.png
    6 E6 [32,2,1] CDel nodea.pngCDel 3a.pngCDel nodea.pngCDel 3a.pngCDel branch.pngCDel 3a.pngCDel nodea.pngCDel 3a.pngCDel nodea.png
    7 E7 [33,2,1] CDel nodea.pngCDel 3a.pngCDel nodea.pngCDel 3a.pngCDel branch.pngCDel 3a.pngCDel nodea.pngCDel 3a.pngCDel nodea.pngCDel 3a.pngCDel nodea.png
    8 E8 [34,2,1] CDel nodea.pngCDel 3a.pngCDel nodea.pngCDel 3a.pngCDel branch.pngCDel 3a.pngCDel nodea.pngCDel 3a.pngCDel nodea.pngCDel 3a.pngCDel nodea.pngCDel 3a.pngCDel nodea.png
    Afine Coxeterjeve grupe
    simbol
    grupe
    notacija z oklepaji Coxeterjev graf
    [∞] CDel node.pngCDel infin.pngCDel node.png
    [3[3]] CDel node.pngCDel split1.pngCDel branch.png
    [4,4] CDel node.pngCDel 4.pngCDel node.pngCDel 4.pngCDel node.png
    [6,3] CDel node.pngCDel 6.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel node.png
    [3[4]] CDel node.pngCDel split1.pngCDel nodes.pngCDel split2.pngCDel node.png
    [4,31,1] CDel node.pngCDel 4.pngCDel node.pngCDel split1.pngCDel nodes.png
    [4,3,4] CDel node.pngCDel 4.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel node.pngCDel 4.pngCDel node.png
    [3[5]] CDel node.pngCDel split1.pngCDel nodes.pngCDel 3ab.pngCDel branch.png
    [4,3,31,1] CDel node.pngCDel 4.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel node.pngCDel split1.pngCDel nodes.png
    [4,3,3,4] CDel node.pngCDel 4.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel node.pngCDel 4.pngCDel node.png
    [ 31,1,1,1] CDel nodes.pngCDel split2.pngCDel node.pngCDel split1.pngCDel nodes.png
    [3,4,3,3] CDel node.pngCDel 3.pngCDel node.pngCDel 4.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel node.png
    [3[n+1]] CDel node.pngCDel split1.pngCDel nodes.pngCDel 3ab.png...CDel 3ab.pngCDel nodes.pngCDel 3ab.pngCDel branch.png
    or
    CDel branch.pngCDel 3ab.pngCDel nodes.pngCDel 3ab.png...CDel 3ab.pngCDel nodes.pngCDel 3ab.pngCDel branch.png
    [4,3n-2,31,1] CDel node.pngCDel 4.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel node.pngCDel 3.png...CDel 3.pngCDel node.pngCDel split1.pngCDel nodes.png
    [4,3n-1,4] CDel node.pngCDel 4.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel node.pngCDel 3.png...CDel 3.pngCDel node.pngCDel 4.pngCDel node.png
    [ 31,1,3n-3,31,1] CDel nodes.pngCDel split2.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel node.pngCDel 3.png...CDel 3.pngCDel node.pngCDel split1.pngCDel nodes.png
    [32,2,2] CDel nodea.pngCDel 3a.pngCDel nodea.pngCDel 3a.pngCDel branch.pngCDel 3a.pngCDel nodea.pngCDel 3a.pngCDel nodea.png
    [33,3,1] CDel nodea.pngCDel 3a.pngCDel nodea.pngCDel 3a.pngCDel nodea.pngCDel 3a.pngCDel branch.pngCDel 3a.pngCDel nodea.pngCDel 3a.pngCDel nodea.pngCDel 3a.pngCDel nodea.png
    [35,2,1] CDel nodea.pngCDel 3a.pngCDel nodea.pngCDel 3a.pngCDel branch.pngCDel 3a.pngCDel nodea.pngCDel 3a.pngCDel nodea.pngCDel 3a.pngCDel nodea.pngCDel 3a.pngCDel nodea.pngCDel 3a.pngCDel nodea.png
    Kompaktne hiperbolične Coxeterjeve grupe
    simbol
    grupe
    notacija z oklepaji Coxeterjev graf
    [p,q]
    z 2(p+q)<pq
    CDel node.pngCDel p.pngCDel node.pngCDel q.pngCDel node.png
    [(p,q,r)]
    z p+q+r>9
    CDel pqr.png
    [4,3,5] CDel node.pngCDel 4.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel node.pngCDel 5.pngCDel node.png
    [5,3,5] CDel node.pngCDel 5.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel node.pngCDel 5.pngCDel node.png
    [3,5,3] CDel node.pngCDel 3.pngCDel node.pngCDel 5.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel node.png
    [5,31,1] CDel node.pngCDel 5.pngCDel node.pngCDel split1.pngCDel nodes.png
    [(3,3,3,4)] CDel label4.pngCDel branch.pngCDel 3ab.pngCDel branch.png 
    [(3,3,3,5)] CDel label5.pngCDel branch.pngCDel 3ab.pngCDel branch.png 
    [(3,4,3,4)] CDel label4.pngCDel branch.pngCDel 3ab.pngCDel branch.pngCDel label4.png
    [(3,4,3,5)] CDel label4.pngCDel branch.pngCDel 3ab.pngCDel branch.pngCDel label5.png
    [(3,5,3,5)] CDel label5.pngCDel branch.pngCDel 3ab.pngCDel branch.pngCDel label5.png
    [3,3,3,5] CDel node.pngCDel 3.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel node.pngCDel 5.pngCDel node.png
    [4,3,3,5] CDel node.pngCDel 4.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel node.pngCDel 5.pngCDel node.png
    [5,3,3,5] CDel node.pngCDel 5.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel node.pngCDel 5.pngCDel node.png
    [5,3,31,1] CDel node.pngCDel 5.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel node.pngCDel split1.pngCDel nodes.png
    [(3,3,3,3,4)] CDel label4.pngCDel branch.pngCDel 3ab.pngCDel nodes.pngCDel split2.pngCDel node.png

    Razvrščanje po rangu

    Coxeterjeve grupe se lahko razvrstijo po njihovem rangu, kar je število vozlov v Coxeterjevem grafu. Struktura teh grup je dana tudi z vrstami tipov abstraktnih grup. Tukaj so abstraktne diedrske grupe predstavljene z Dihn. Ciklične grupe pa so predstavljene z Zn tako, da je Dih1 = Z2.

    Grupe z rangom ena

    V eni razsežnosti dvostranska grupa (bilateralna grupa) [ ] predstavlja posamezno zrcalno simetrijo. To je Dih1 ali simetrija Z2, reda 2. Predstavljena je kot Coxeter-Dinkinov diagram s samo enim vozlom CDel node.png. Grupa identitete je direktna grupa [ ]+, Z1, s simetrijskim redom 1. Nadpis + kaže samo na to, da so izmenično zrcalni odboji zanemarjeni, kar pusti grupo identitete v tej najenostavnejši obliki.

    grupa Coxeter Coxeterjev graf red opis
    C1 [ ]+ 1 identiteta
    D1 [ ] CDel node.png 2 zrcalna grupa

    Grupe z rangom dva

    V dveh razsežnostih se pravokotna grupa [2] Dih2 lahko prikaže kot direktni produkt [ ]×[ ] ali Z2×Z2 kot dvostranski grupi, ki ju predstavimo z dvema pravokotnima ogledaloma, pri tem pa je Coxeterjev graf CDel node.pngCDel 2.pngCDel node.png z redom 4

    grupa intl orbiterost Coxeter red opis
    Končne
    Zn n nn [n]+ n ciklični: n-kratna vrtenja. Abstraktna grupa Zn, grupa celih števil pod seštevanjem po modulu n.
    Dn nm *nn [n] 2n diedrska: ciklična z zrcaljenji. Abstraktna grupa Dihn, diedrska grupa.
    afine
    Z ∞∞ [∞]+ ciklično: apeirogonalna grupa. Abstraktna grupa Z, grupa celih števil pod seštevanjem.
    Dih m *∞∞ [∞] diedrsko: vzporedna zrcaljenja. Abstratna neskončna diedrska grupa Dih.
    hiperbolične
    Z [πi/λ]+ psevdogonalna grupa
    Dih [πi/λ] polna psevdogonalna grupa

    Grupe z rangom tri

    končne
    intl* geo
    [1]
    orbiterost Schönflies Conway Coxeter red
    1 1 1 C1 C1 [ ]+ 1
    1 22 ×1 Ci = S2 CC2 [2+,2+] 2
    2 = m 1 *1 Cs = C1v = C1h ±C1 = CD2 [ ] 2
    2
    3
    4
    5
    6
    n
    2
    3
    4
    5
    6
    n
    22
    33
    44
    55
    66
    nn
    C2
    C3
    C4
    C5
    C6
    Cn
    C2
    C3
    C4
    C5
    C6
    Cn
    [2]+
    [3]+
    [4]+
    [5]+
    [6]+
    [n]+
    2
    3
    4
    5
    6
    n
    2mm
    3m
    4mm
    5m
    6mm
    nmm
    nm
    2
    3
    4
    5
    6
    n
    *22
    *33
    *44
    *55
    *66
    *nn
    C2v
    C3v
    C4v
    C5v
    C6v
    Cnv
    CD4
    CD6
    CD8
    CD10
    CD12
    CD2n
    [2]
    [3]
    [4]
    [5]
    [6]
    [n]
    4
    6
    8
    10
    12
    2n
    2/m
    3/m
    4/m
    5/m
    6/m
    n/m
    2 2
    3 2
    4 2
    5 2
    6 2
    n 2
    2*
    3*
    4*
    5*
    6*
    n*
    C2h
    C3h
    C4h
    C5h
    C6h
    Cnh
    ±C2
    CC6
    ±C4
    CC10
    ±C6
    ±Cn / CC2n
    [2,2+]
    [2,3+]
    [2,4+]
    [2,5+]
    [2,6+]
    [2,n+]
    4
    6
    8
    10
    12
    2n
    4
    3
    8
    5
    12
    2n
    n
    4 2
    6 2
    8 2
    10 2
    12 2
    2n 2





    S4
    S6
    S8
    S10
    S12
    S2n
    CC4
    ±C3
    CC8
    ±C5
    CC12
    CC2n / ±Cn
    [2+,4+]
    [2+,6+]
    [2+,8+]
    [2+,10+]
    [2+,12+]
    [2+,2n+]
    4
    6
    8
    10
    12
    2n
    intl geo orbiterost Schönflies Conway Coxeter red
    222
    32
    422
    52
    622
    n22
    n2
    2 2
    3 2
    4 2
    5 2
    6 2
    n 2
    222
    223
    224
    225
    226
    22n
    D2
    D3
    D4
    D5
    D6
    Dn
    D4
    D6
    D8
    D10
    D12
    D2n
    [2,2]+
    [2,3]+
    [2,4]+
    [2,5]+
    [2,6]+
    [2,n]+
    4
    6
    8
    10
    12
    2n
    mmm
    6m2
    4/mmm
    10m2
    6/mmm
    n/mmm
    2nm2
    2 2
    3 2
    4 2
    5 2
    6 2
    n 2
    *222
    *223
    *224
    *225
    *226
    *22n
    D2h
    D3h
    D4h
    D5h
    D6h
    Dnh
    ±D4
    DD12
    ±D8
    DD20
    ±D12
    ±D2n / DD4n
    [2,2]
    [2,3]
    [2,4]
    [2,5]
    [2,6]
    [2,n]
    8
    12
    16
    20
    24
    4n
    42m
    3m
    82m
    5m
    122m
    2n2m
    nm
    4 2
    6 2
    8 2
    10 2
    12 2
    n 2
    2*2
    2*3
    2*4
    2*5
    2*6
    2*n
    D2d
    D3d
    D4d
    D5d
    D6d
    Dnd
    ±D4
    ±D6
    DD16
    ±D10
    DD24
    DD4n / ±D2n
    [2+,4]
    [2+,6]
    [2+,8]
    [2+,10]
    [2+,12]
    [2+,2n]
    8
    12
    16
    20
    24
    4n
    23 3 3 332 T T [3,3]+ 12
    m3 4 3 3*2 Th ±T [3+,4] 24
    43m 3 3 *332 Td TO [3,3] 24
    432 4 3 432 O O [3,4]+ 24
    m3m 4 3 *432 Oh ±O [3,4] 48
    532 5 3 532 I I [3,5]+ 60
    53m 5 3 *532 Ih ±I [3,5] 120
    Polfine
    intl (orbiterost) geo
    Schönflies Coxeter red
    n nn n Cn [1,n]+ n
    nm *nn n Dn [1,n] 2n
    IUC (orbiterost) geo Schönflies Coxeter
    p1 ∞∞ p1 C [1,∞]+
    p1m1 *∞∞ p1 C∞v [1,∞]
    IUC (orbiterost) geo Schönflies Coxeter
    p11g ∞x p.g1 S2∞ [∞+,2+]
    p11m ∞* p.1 C∞h [∞+,2]
    p2 22∞ p2 D [∞,2]+
    p2mg 2*∞ p2g D∞d [∞,2+]
    p2mm *22∞ p2 D∞h [∞,2]
    Afine
    IUC (orbiterost) geometrijska Coxeter
    p2 (2222) p2 [1+,4,4]+
    p2gg (22x) pg2g [4+,4+]
    p2mm (*2222) p2 [1+,4,4]
    c2mm (2*22) c2 [[4+,4+]]
    p4 (442) p4 [4,4]+
    p4gm (4*2) pg4 [4+,4]
    p4mm (*442) p4 [4,4]
    IUC (orbiterost) geometrijska Coxeter
    p3 (333) p3 [1+,6,3+] = [3[3]]+
    p3m1 (*333) p3 [1+,6,3] = [3[3]]
    p31m (3*3) h3 [6,3+] = [3[3[3]]+]
    p6 (632) p6 [6,3]+ = [3[3[3]]]+
    p6mm (*632) p6 [6,3] = [3[3[3]]]

    Grupe z rangom štiri

    Točkovne grupe

    Grupe ranga 4 definirajo štirirazsežne točkovne grupe:

    Končne grupe
    [ ]: CDel node.png
    simbol red
    [1]+ 1.1
    [1] = [ ] 2.1
    [2,1,1]: CDel node.pngCDel 2.pngCDel node.png
    simbol red
    [2,1,1]+ 2.1
    [2,1,1] 4.1
    [2,2,1]: CDel node.pngCDel 2.pngCDel node.pngCDel 2.pngCDel node.png
    simbol red
    [2+,2+,1] 2.1
    [2,2,1]+ 4.1
    [2+,2,1] 4.1
    [2,2,1] 8.1
    [2,2,2]: CDel node.pngCDel 2.pngCDel node.pngCDel 2.pngCDel node.pngCDel 2.pngCDel node.png
    simbol red
    [2+,2+,2+] 2.1
    [2+,2,2+] 4.1
    [(2,2)+,2+] 4
    [[2+,2+,2+]] 4
    [2,2,2]+ 8
    [2+,2,2] 8.1
    [(2,2)+,2] 8
    [[2+,2,2+]] 8.1
    [2,2,2] 16.1
    [[2,2,2]]+ 16
    [[2,2+,2]] 16
    [[2,2,2]] 32
    [p,1,1]: CDel node.pngCDel p.pngCDel node.png
    simbol red
    [3,1,1]+ 3.1
    [4,1,1]+ 4.2
    [5,1,1]+ 5.1
    [6,1,1]+ 6.1
    [p,1,1]+ p
    [3,1,1] 6.2
    [4,1,1] 8.4
    [5,1,1] 10.2
    [6,1,1] 12.3
    [p,1,1] 2p


    [p,2,1]: CDel node.pngCDel p.pngCDel node.pngCDel 2.pngCDel node.png
    simbol red
    [3,2,1]+ 6.1
    [4,2,1]+ 8.3
    [5,2,1]+ 10.2
    [6,2,1]+ 12.3
    [p,2,1]+ 2p
    [3,2,1] 12.3
    [4,2,1] 16.6
    [5,2,1] 20.3
    [6,2,1] 24.6
    [p,2,1] 4p
    [2p,2+,1]: CDel node.pngCDel 2x.pngCDel p.pngCDel node.pngCDel 2x.pngCDel node.png
    simbol red
    [6,2+,1] 12.3
    [8,2+,1] 16.12
    [10,2+,1] 20.3
    [12,2+,1] 24.12
    [2p,2+,1] 4p
    [p,2,2]: CDel node.pngCDel p.pngCDel node.pngCDel 2.pngCDel node.pngCDel 2.pngCDel node.png
    simbol red
    [3+,2,2+] 6
    [4+,2,2+] 8
    [5+,2,2+] 10
    [6+,2,2+] 12
    [p+,2,2+] 2p
    [(3,2)+,2+] 6
    [(4,2)+,2+] 8
    [(5,2)+,2+] 10
    [(6,2)+,2+] 12
    [(p,2)+,2+] 2p
    [3,2,2]+ 12
    [4,2,2]+ 16
    [5,2,2]+ 20
    [6,2,2]+ 24
    [p,2,2]+ 4p
    [3,2,2+] 12
    [4,2,2+] 16
    [5,2,2+] 20
    [6,2,2+] 24
    [p,2,2+] 4p
    [3+,2,2] 12
    [4+,2,2] 16
    [5+,2,2] 20
    [6+,2,2] 24
    [p+,2,2] 4p
    [(3,2)+,2] 12
    [(4,2)+,2] 16
    [(5,2)+,2] 20
    [(6,2)+,2] 24
    [(p,2)+,2] 4p
    [3,2,2] 24
    [4,2,2] 32
    [5,2,2] 40
    [6,2,2] 48
    [p,2,2] 8p
    [2p,2+,2]: CDel node.pngCDel 2x.pngCDel p.pngCDel node.pngCDel 2.pngCDel node.pngCDel 2.pngCDel node.png
    simbol red
    [6+,2+,2+] 6
    [8+,2+,2+] 8
    [10+,2+,2+] 10
    [12+,2+,2+] 12
    [2p+,2+,2+] 2p
    [6+,2+,2] 12
    [8+,2+,2] 16
    [10+,2+,2] 20
    [12+,2+,2] 24
    [2p+,2+,2] 4p
    [6+,(2,2)+] 12
    [8+,(2,2)+] 16
    [10+,(2,2)+] 20
    [12+,(2,2)+] 24
    [2p+,(2,2)+] 4p
    [6,(2,2)+] 24
    [8,(2,2)+] 32
    [10,(2,2)+] 40
    [12,(2,2)+] 48
    [2p,(2,2)+] 8p
    [6,2+,2] 24
    [8,2+,2] 32
    [10,2+,2] 40
    [12,2+,2] 48
    [2p,2+,2] 8p
    [p,2,q]: CDel node.pngCDel p.pngCDel node.pngCDel 2.pngCDel node.pngCDel q.pngCDel node.png
    simbol red
    [3+,2,3+] 9
    [4+,2,3+] 12
    [5+,2,3+] 15
    [6+,2,3+] 18
    [4+,2,4+] 16
    [5+,2,4+] 20
    [6+,2,4+] 24
    [5+,2,5+] 25
    [6+,2,5+] 30
    [6+,2,6+] 36
    [p+,2,q+] pq
    [3,2,3]+ 18
    [4,2,3]+ 24
    [5,2,3]+ 30
    [6,2,3]+ 36
    [4,2,4]+ 32
    [5,2,4]+ 40
    [6,2,4]+ 48
    [5,2,5]+ 50
    [6,2,5]+ 60
    [6,2,6]+ 72
    [p,2,q]+ 2pq
    [3+,2,3] 18
    [4+,2,3] 24
    [5+,2,3] 30
    [6+,2,3] 36
    [4+,2,4] 32
    [5+,2,4] 40
    [6+,2,4] 48
    [5+,2,5] 50
    [6+,2,5] 60
    [6+,2,6] 72
    [p+,2,q] 2pq
    [3,2,3] 36
    [4,2,3] 48
    [5,2,3] 60
    [6,2,3] 72
    [4,2,4] 64
    [5,2,4] 80
    [6,2,4] 96
    [5,2,5] 100
    [6,2,5] 120
    [6,2,6] 144
    [p,2,q] 4pq
    [(p,2)+,2q]: CDel node.pngCDel p.pngCDel node.pngCDel 2.pngCDel node.pngCDel 2x.pngCDel q.pngCDel node.png
    simbol red
    [(3,2)+,6+] 18
    [(4,2)+,6+] 24
    [(5,2)+,6+] 30
    [(6,2)+,6+] 36
    [(4,2)+,8+] 32
    [(5,2)+,8+] 40
    [(6,2)+,8+] 48
    [(5,2)+,10+] 50
    [(6,2)+,10+] 60
    [(6,2)+,12+] 72
    [(p,2)+,2q+] 2pq
    [(3,2)+,6] 36
    [(4,2)+,6] 48
    [(5,2)+,6] 60
    [(6,2)+,6] 72
    [(4,2)+,8] 64
    [(5,2)+,8] 80
    [(6,2)+,8] 96
    [(5,2)+,10] 100
    [(6,2)+,10] 120
    [(6,2)+,12] 144
    [(p,2)+,2q] 4pq
    [2p,2+,2q]: CDel node.pngCDel 2x.pngCDel p.pngCDel node.pngCDel 2.pngCDel node.pngCDel 2x.pngCDel q.pngCDel node.png
    simbol red
    [6+,2+,6+] 18
    [8+,2+,6+] 24
    [10+,2+,6+] 30
    [12+,2+,6+] 36
    [8+,2+,8+] 32
    [10+,2+,8+] 40
    [12+,2+,8+] 48
    [10+,2+,10+] 50
    [12+,2+,10+] 60
    [12+,2+,12+] 72
    [2p+,2+,2q+] 2pq
    [6,2+,6+] 36
    [8,2+,6+] 48
    [10,2+,6+] 60
    [12,2+,6+] 72
    [8,2+,8+] 64
    [10,2+,8+] 80
    [12,2+,8+] 96
    [10,2+,10+] 100
    [12,2+,10+] 120
    [12,2+,12+] 144
    [2p,2+,2q+] 4pq
    [6,2+,6] 72
    [8,2+,6] 96
    [10,2+,6] 120
    [12,2+,6] 144
    [8,2+,8] 128
    [10,2+,8] 160
    [12,2+,8] 192
    [10,2+,10] 200
    [12,2+,10] 240
    [12,2+,12] 288
    [2p,2+,2q] 8pq
    [[p,2,p]]: CDel node.pngCDel p.pngCDel node.pngCDel 2.pngCDel node.pngCDel p.pngCDel node.png
    simbol red
    [[3+,2,3+]] 18
    [[4+,2,4+]] 32
    [[5+,2,5+]] 50
    [[6+,2,6+]] 72
    [[p+,2,p+]] 2p2
    [[3,2,3]]+ 36
    [[4,2,4]]+ 64
    [[5,2,5]]+ 100
    [[6,2,6]]+ 144
    [[p,2,p]]+ 4p2
    [[3,2,3]] 72
    [[4,2,4]] 128
    [[5,2,5]] 200
    [[6,2,6]] 288
    [[p,2,p]] 8p2
    [[2p,2+,2p]]: CDel node.pngCDel 2x.pngCDel p.pngCDel node.pngCDel 2.pngCDel node.pngCDel 2x.pngCDel p.pngCDel node.png
    simbol red
    [[6+,2+,6+]] 36
    [[8+,2+,8+]] 64
    [[10+,2+,10+]] 100
    [[12+,2+,12+]] 144
    [[2p+,2+,2p+]] 4p2
    [[6,2+,6]] 144
    [[8,2+,8]] 256
    [[10,2+,10]] 400
    [[12,2+,12]] 576
    [[2p,2+,2p]] 16p2
    [3,3,1]: CDel node.pngCDel 3.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel node.png
    simbol red
    [3,3,1]+ 12.5
    [3,3,1] 24
    [4,3,1]: CDel node.pngCDel 4.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel node.png
    simbol red
    [4,3,1]+ 24.15
    [3+,4,1] 24.10
    [4,3,1] 48.36
    [5,3,1]: CDel node.pngCDel 5.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel node.png
    simbol red
    [5,3,1]+ 60.13
    [5,3,1] 120.2
    [3,3,2]: CDel node.pngCDel 3.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel node.pngCDel 2.pngCDel node.png
    simbol red
    [(3,3)+,2] 24
    [3,3,2]+ 24
    [3,3,2] 48
    [4,3,2]: CDel node.pngCDel 4.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel node.pngCDel 2.pngCDel node.png
    simbol red
    [(4,3)+,2+] 24
    [4,(3,2)+] 48
    [(4,3)+,2] 48
    [4,3,2]+ 48
    [4,3+,2] 48.22
    [4,3,2] 96.5
    [5,3,2]: CDel node.pngCDel 5.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel node.pngCDel 2.pngCDel node.png
    simbol red
    [(5,3)+,2] 120.2
    [5,3,2]+ 120.2
    [5,3,2] 240
    [31,1,1]: CDel node.pngCDel 3.pngCDel node.pngCDel split1.pngCDel nodes.png
    simbol red
    [31,1,1]+
    = [1+,4,3,3]+
    96.1
    [31,1,1]
    = [1+,4,3,3]
    192
    <[3,31,1]>
    = [4,3,3]
    384.1
    [3[31,1,1]]
    = [3,4,3]
    1152.1
    [3,3,3]: CDel node.pngCDel 3.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel node.png
    simbol red
    [3,3,3]+ 60
    [3,3,3] 120.1
    [[3,3,3]]+ 120.2
    [[3,3,3]+] 120.1
    [[3,3,3]] 240.1
    [4,3,3]: CDel node.pngCDel 4.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel node.png
    simbol red
    [1+,4,3,3]+
    = [3,31,1]+
    96.1
    [1+,4,3,3]
    = [3,31,1]
    192
    [4,(3,3)+] 192
    [4,3,3]+ 192
    [4,3,3] 384
    [3,4,3]: CDel node.pngCDel 3.pngCDel node.pngCDel 4.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel node.png
    simbol red
    [3+,4,3+] 288.1
    [3,4,3]+ 576.2
    [3+,4,3] 576.1
    [[3+,4,3+]] 576
    [3,4,3] 1152.1
    [[3,4,3]]+ 1152
    [[3,4,3]+] 1152
    [[3,4,3]] 2304
    [5,3,3]: CDel node.pngCDel 5.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel node.png
    simbol red
    [5,3,3]+ 7200
    [5,3,3] 14400

    Prostorske grupe

    Grupe ranga štiri definirajo tudi trirazsežne prostorske grupe:

    ortorombski

    [∞,2,∞,2,∞]
    CDel node.pngCDel infin.pngCDel node.pngCDel 2.pngCDel node.pngCDel infin.pngCDel node.pngCDel 2.pngCDel node.pngCDel infin.pngCDel node.png
    simbol
    [∞,2,∞,2,∞]
    [∞,2,∞,2,∞]+
    [∞+,2,∞,2,∞]
    [∞+,2,∞+,2,∞]
    [∞+,2,∞+,2,∞+]
    [∞,2,∞,2+,∞]
    [∞,2+,∞,2+,∞]
    [(∞,2,∞)+,2,∞]
    [(∞,2,∞)+,2,∞+]
    trigonalni & heksagonalni
    grupa simbol
    [3,6,2,∞]
    CDel node.pngCDel 3.pngCDel node.pngCDel 6.pngCDel node.pngCDel 2.pngCDel node.pngCDel infin.pngCDel node.png
    [6,3,2,∞]
    [6,3,2,∞]+
    [6,3+,2,∞]
    [(6,3)+,2,∞]
    [6,3,2,∞+]
    [6,3+,2,∞+]
    [(6,3)+,2,∞+]
    [1+,6,3,2,∞]
    [1+,6,3,2,∞]+
    [1+,6,3,2,∞+]
    [(1+,6,3)+,2,∞]
    [(1+,6,3)+,2,∞+]
    [3[3],2,∞]
    CDel node.pngCDel split1.pngCDel branch.pngCDel 2.pngCDel node.pngCDel infin.pngCDel node.png
    [3[3],2,∞]
    [3[3],2,∞]+
    [3[3],2,∞+]
    [(3[3])+,2,∞]
    [(3[3])+,2,∞+]

    tetragonalni

    [4,4,2,∞]
    CDel node.pngCDel 4.pngCDel node.pngCDel 4.pngCDel node.pngCDel 2.pngCDel node.pngCDel infin.pngCDel node.png
    [4,4,2,∞]
    [4,4,2,∞]+
    [(4,4)+,2,∞]
    [4,4,2+,∞]
    [4,4,2,∞+]
    [(4,4)+,2+,∞]
    [(4,4)+,2,∞+]
    [4,4,2+,∞+]
    [(4,4)+,2+,∞+]
    [4+,4+,2+,∞]
    [4,4+,2,∞]
    [4,4+,2+,∞]
    [4,4+,2,∞+]
    [4,4+,2+,∞+]
    kubični
    grupa Coxeter prostorska grupa indeks
    [4,3,4]
    CDel node.pngCDel 4.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel node.pngCDel 4.pngCDel node.png
    [4,3,4] (221) Pm3m 1
    [4,3,4]+ (222) Pn3n 2
    [4,3+,4] (223) Pm3n 2
    [4,(3,4)+] (224) Pn3m 2
    [4,3,4,1+] (225) Fm3m 2
    [4,(3,4,1+)+] (226) Fm3c 4
    [1+,4,3,4,1+] (227) Fd3m 4
    [4,3,4,1+]+ (228) Fd3c 4
    [[4,3,4]] [[4,3,4]] (229) Im3m
    [[4,3,4]]+ (230) Ia3d
    [[4,3+,4]]
    [[4,3,4]]+
    [4,31,1]
    CDel node.pngCDel 4.pngCDel node.pngCDel split1.pngCDel nodes.png
    [4,31,1] = [4,3,4,1+] 2
    [4,(31,1)+] = [4,(3,4,1+)+] 4
    [1+,4,31,1] = [1+,4,3,4,1+] 4
    [4,31,1]+ = [4,3,4,1+]+ 4
    [1+,4,31,1]+ = [1+,4,3,4,1+]+ 2
    <[4,31,1]> = [4,3,4] 1
    [(3[4])]
    CDel branch.pngCDel 3ab.pngCDel branch.png
    [(3[4])] = [1+,4,31,1] 4
    [(3[4])]+ = [1+,4,31,1]+ 2
    <[(3,3,3,3)]> = [4,31,1] 2
    <<[(3[4])]>> = [4,3,4] 1
    [[(3[4])]]
    [4[(3[4])]] = [[4,3,4]]

    Grupa na premici

    Rang štiri definira tudi trirazsežne grupe na premici:

    Polfine (3D)
    točkovna grupa grupa premic
    Hermann-Mauguin Schönflies Hermann-Mauguin Offset type Wallpaper Coxeter
    [∞h,2,pv]
    paren n neparen n paren n neparen n IUC orbiterost diagram
    n Cn Pnq Helical: q p1 o Wallpaper group diagram p1 rect.svg [∞+,2,n+]
    2n n S2n P2n Pn None p11g, pg(h) xx Wallpaper group diagram pg.svg [(∞,2)+,2n+]
    n/m 2n Cnh Pn/m P2n None p11m, pm(h) ** Wallpaper group diagram pm.svg [∞+,2,n]
    2n/m C2nh P2nn/m Zigzag c11m, cm(h) *x Wallpaper group diagram cm.svg [∞+,2+,2n]
    nmm nm Cnv Pnmm Pnm None p1m1, pm(v) ** Wallpaper group diagram pm rotated.svg [∞,2,n+]
    Pncc Pnc Planar reflection p1g1, pg(v) xx Wallpaper group diagram pg rotated.svg [∞+,(2,n)+]
    2nmm C2nv P2nnmc Zigzag c1m1, cm(v) *x Wallpaper group diagram cm rotated.svg [∞,2+,2n+]
    n22 n2 Dn Pnq22 Pnq2 Helical: q p2 2222 Wallpaper group diagram p2.svg [∞,2,n]+
    2n2m nm Dnd P2n2m Pnm None p2mg, pmg(h) 22* Wallpaper group diagram pmg.svg [(∞,2)+,2n]
    P2n2c Pnc Planar reflection p2gg, pgg 22x Wallpaper group diagram pgg rhombic.svg [∞+,2+,2n+]
    n/mmm 2n2m Dnh Pn/mmm P2n2m None p2mm, pmm *2222 Wallpaper group diagram pmm.svg [∞,2,n]
    Pn/mcc P2n2c Planar reflection p2mg, pmg(v) 22* Wallpaper group diagram pmg rotated.svg [∞,(2,n)+]
    2n/mmm D2nh P2nn/mcm cikcak c2mm, cmm 2*22 Wallpaper group diagram cmm.svg [∞,2+,2n]

    Tapetne grupe

    Grupe z rangom štiri definirajo tudi nekatere dvorazsežne tapetne grupe:

    Afine (2D ravnina)
    IUC (orbiterost) geo Coxeter
    p1 (o) p1 [∞+,2,∞+]
    p2 (2222) p2 [∞,2,∞]+
    c2mm (2*22) c2 [∞,2+,∞]
    p11g (xx) pg1 h: [∞+,(2,∞)+]
    p1g1 (xx) pg1 v: [(∞,2)+,∞+]
    p2gm (22*) pg2 h: [(∞,2)+,∞]
    p2mg (22*) pg2 v: [∞,(2,∞)+]
    IUC (orbiterost) Geo Coxeter
    p11m (**) p1 h: [∞+,2,∞]
    p1m1 (**) p1 v: [∞,2,∞+]
    p2mm (*2222) p2 [∞,2,∞]
    c11m (*x) c1 h: [∞+,2+,∞]
    c1m1 (*x) c1 v: [∞,2+,∞+]
    p2gg (22x) pg2g [∞+,2+,∞+]
    c2mm (2*22) c2 [∞,2+,∞]

    Sklici

    1. The Crystallographic Space groups in Geometric algebra, D. Hestenes and J. Holt, Journal of Mathematical Physics. 48, 023514 (2007) (22 pages) PDF [1]