Išči

    Heronski trikotnik

    Herónski trikótnik je v geometriji trikotnik, katerega dolžine stranic in ploščina so vsa cela števila.[1][2] Imenujejo se po Heronu. Izraz se včasih rabi širše za trikotnike, katerih dolžine stranic in ploščine so vsa racionalna števila.[3]

    Vsebina

    Značilnosti

    Vsak pravokotni trikotnik, katerega dolžine stranic so pitagorejske trojice, je heronski, saj so dolžine stranic takšnih trikotnikov cela števila, kot tudi njihova ploščina, ki je enaka polovici produkta dveh krajših stranic trikotnika, od katerih mora vsaj ena biti soda.

    Trikotnik s stranicami c, e in b + d, in višino a.

    Zgled heronskega trikotnika, ki ni pravokotni, je trikotnik z dolžinami stranic 5, 5 in 6, katerega ploščina je enaka 12. Ta trikotnik nastane z združitvijo dveh kopij pravokotnih trikotnikov z dolžinami stranic 3, 4 in 5 vzdolž stranic z dolžino 4. Takšen pristop v splošnem deluje, kot je razvidno na sliki. Vzame se pitagorejska trojica (a, b, c), kjer je največji c, nato druga trojica (a, d, e), kjer je največji e, se skonstruirata trikotnika in se združita vzdolž stranic z dolžino a. Nastane trikotnik s celoštevilskimi dolžinami stranic c, e in b + d in ploščino:

    (ena polovica krat osnovnica krat višina).

    Če je a sod, je ploščina p celo število. Če je a lih, je p še vedno celo število, saj morata biti b in d oba soda, tako da je tudi njuna vsota b+d soda.

    Zanimivo vprašanje je ali lahko vsi heronski trikotniki nastanejo z združitvijo dveh pravokotnih trikotnikov s celoštevilskimi dolžinami stranic, kot je opisano zgoraj. Odgovor je negativen. Heronski trikotnik z dolžinami stranic 5, 29 in 30, ter ploščino 72, se ne da skonstruirati iz dveh celoštevilskih pitagorejskih trikotnikov, ker nobena od njegovih višin ni celo število. Takšni heronski trikotniki so nesestavljivi (in-decomposable).[4] Če pa se dovoli racionalne pitagorejske trojice, ki niso nujno cela števila, je odgovor pritrdilen, saj je vsaka višina heronskega trikotnika racionalna, ker je enaka dvakratniku celoštevilske ploščine deljenemu s celoštevilsko osnovnico.[5] Heronski trikotnik z dolžinami stranic 5, 29 in 30 se lahko skonstruira iz racionalnih pitagorejskih trikotnikov z dolžinami stranic 7/5, 24/5, 5 in 143/5, 24/5, 29. Pri tem je pitagorejska trojica z racionalnimi vrednostmi samo povečana trojica s celoštevilskimi vrednostmi.

    Izrek o sestavljivosti

    Vsak heronski trikotnik se lahko sestavi iz dveh pravokotnih trikotnikov, katerih dolžine stranic so racionalne pitagorejske trojice.

    Dokaz izreka

    Po sliki na desni so c, e, b + d in ploščina trikotnika p cela števila. Predpostavi se, da je b + d večja ali enaka c in e, tako da višina na to stranico leži pravokotno nanjo znotraj trikotnika. Da sta trojici (a, b, c) in (a, d, e) racionalni pitagorejski trojici, je dovolj dokazati, da so dolžine a, b in d racionalne.

    Ker je ploščina trikotnika enaka:

    se dobi odtod dolžino a:

    ki je racionalna, saj sta in celi števili. Treba je pokazati še, da sta dolžini b in d racionalni.

    Iz Pitagorovega izreka za oba pravokotna trikotnika sledi:

    in:

    Enačbi se odšteje in se dobi:

    Predpostavilo se je, da so dolžine c, e in b + d cela števila. Zaradi tega je razlika dolžin b − d racionalna in zato sta dolžini:

    obe racionalni. Q.E.D.

    Eksaktne formule za heronske trikotnike

    Vsak heronski trikotnik ima dolžine stranic sorazmerne z:[6]

    za cela števila m, n in k, kjer je:

    in s polobseg, r polmer včrtane krožnice.

    Sorazmernostni faktor je v splošnem racionalno število   , kjer    privede nastali heronski trikotnik na njegovo primitivno obliko,    pa umeri to primitivno obliko na ustrezno velikost. Če se na primer vzame m = 36, n = 4 in k = 3, se dobi trikotnik z a = 5220, b = 900 in c = 5400, kar je enako heronskemu trikotniku 5, 29, 30, sorazmernostni faktor pa ima t = 1 in q = 180.

    Zgledi

    Seznam prvih nekaj primitivnih celoštevilskih heronskih trikotnikov podaja naslednja razpredelnica. Razvrščen je glede na ploščino. Če je enaka, pa glede na obseg. »Primitiven« pomeni, da je največji skupni delitelj vseh treh dolžin stranic enak 1 ()

    ploščina obseg b + d e c
    6 12 5 4 3
    12 16 6 5 5
    12 18 8 5 5
    24 32 15 13 4
    30 30 13 12 5
    36 36 17 10 9
    36 54 26 25 3
    42 42 20 15 7
    60 36 13 13 10
    60 40 17 15 8
    60 50 24 13 13
    60 60 29 25 6
    66 44 20 13 11
    72 64 30 29 5
    84 42 15 14 13
    84 48 21 17 10
    84 56 25 24 7
    84 72 35 29 8
    90 54 25 17 12
    90 108 53 51 4
    114 76 37 20 19
    120 50 17 17 16
    120 64 30 17 17
    120 80 39 25 16
    126 54 21 20 13
    126 84 41 28 15
    126 108 52 51 5
    132 66 30 25 11
    156 78 37 26 15
    156 104 51 40 13
    168 64 25 25 14
    168 84 39 35 10
    168 98 48 25 25
    180 80 37 30 13
    180 90 41 40 9
    198 132 65 55 12
    204 68 26 25 17
    210 70 29 21 20
    210 70 28 25 17
    210 84 39 28 17
    210 84 37 35 12
    210 140 68 65 7
    210 300 149 148 3
    216 162 80 73 9
    234 108 52 41 15
    240 90 40 37 13
    252 84 35 34 15
    252 98 45 40 13
    252 144 70 65 9
    264 96 44 37 15
    264 132 65 34 33
    270 108 52 29 27
    288 162 80 65 17
    300 150 74 51 25
    300 250 123 122 5
    306 108 51 37 20
    330 100 44 39 17
    330 110 52 33 25
    330 132 61 60 11
    330 220 109 100 11
    336 98 41 40 17
    336 112 53 35 24
    336 128 61 52 15
    336 392 195 193 4
    360 90 36 29 25
    360 100 41 41 18
    360 162 80 41 41
    390 156 75 68 13
    396 176 87 55 34
    396 198 97 90 11
    396 242 120 109 13

    Enakolični trikotniki

    Geometrijski lik je enakoličen (equable), če je njegova ploščina enaka njegovemu obsegu. Obstaja točno pet enakoličnih heronskih trikotnikov z dolžinami stranic: (5,12,13), (6,8,10), (6,25,29), (7,15,20) in (9,10,17).[7][8] Od teh petih sta le prva dva tudi pitagorejska.

    Skoraj enakostranični heronski trikotniki

    Ker je ploščina enakostraničnega trikotnika z racionalnimi dolžinami stranic iracionalno število, noben enakostranični trikotnik ni heronski. Obstaja pa enolično zaporedje heronskih trikotnikov, ki so »skoraj enakostranični«, ker so njihove dolžine stranic oblike n − 1, n, n + 1. Prvih nekaj zgledov takšnih trikotnikov podaja naslednja razpredelnica (zaporedje A003500 v OEIS):

    dolžina stranice ploščina
    p
    polmer včrtane krožnice r
    n − 1 n n + 1
    3 4 5 6 1
    13 14 15 84 4
    51 52 53 1170 15
    193 194 195 16296 56
    723 724 725 226974 209
    2701 2702 2703 3161340 780
    10083 10084 10085 44031786 2911
    37633 37634 37635 613283664 10864

    Nadaljnje vrednost za n se lahko najde z množenjem predhodne vrednosti s 4, nato pa se odšteje njeno predhodno vrednost (52 = 4 · 14 − 4, 194 = 4 · 52 − 14, itd.), tako da je:

    kjer t označuje katerokoli vrstico v razpredelnici. To je Lucasovo zaporedje. Podobno da vse n formula . Velja tudi enakovredno:

    kjer je r polmer včrtane krožnice, p ploščina, {n, r} pa so rešitve enačbe n2 − 12r2 = 4. Majhna transformacija n = 2x da običajno Pellovo enačbo x2 − 3r2 = 1. Njene rešitve se lahko izpeljejo iz navadnega verižnega ulomka za √3.[9]

    Spremenljivka n ima obliko , kjer je k enak 7, 97, 1351, 18817, ... Števila v tem zaporedju imajo značilnost, da je standardni odklon k zaporednih celih števil celo število. (zaporedje A011943 v OEIS).

    Glej tudi

    Sklici

    1. Carlson (1970).
    2. Beauregard; Suryanarayan (1998).
    3. Weisstein, Eric Wolfgang. "Heronian Triangle". MathWorld (angleščina).
    4. Yiu (2008).
    5. Sierpiński (2003).
    6. Carmichael (1914), str. 11-13.
    7. Dickson (2005), str. 199.
    8. Markowitz (1981).
    9. Richardson (2007).

    Viri

    Zunanje povezave