Išči

    Kubooktaeder

    Kubooktaeder
    Cuboctahedron.jpg
    (animacija)
    vrsta arhimedsko telo
    uniformni polieder
    elementi F = 14, E = 24,
    V = 12 (χ = 2)
    stranske ploskve na stran 8{3} + 6{4}
    Conwayjev zapis aC
    aaT
    Schläflijevi simboli rr{4,3} ali
    rr{3,3} ali
    t1{4,3} ali t0,2{3,3}
    Wythoffov simbol 2 | 3 4
    3 3 | 2
    Coxeter-Dinkinov diagram CDel node.pngCDel 4.pngCDel node 1.pngCDel 3.pngCDel node.png ali CDel node 1.pngCDel split1-43.pngCDel nodes.png
    CDel node 1.pngCDel 3.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel node 1.png ali CDel node.pngCDel split1.pngCDel nodes 11.png
    simetrija Oh, B3, [4,3], (*432), red 48
    Td, [3,3], (*332), red 24
    vrtilna grupa O, [4,3]+, (432), red 24
    diedrski kot 125,26°
    sklici U07, C19, W11
    značilnosti konveksen
    polpravilen
    kvazipravilen
    Cuboctahedron.png
    obarvane stranske ploskve
    Cuboctahedron vertfig.png
    3.4.3.4
    (slika oglišč)
    Rhombicdodecahedron.jpg
    rombski dodekaeder
    (dualni polieder)
    Cuboctahedron flat.svg
    mreža telesa

    Kubooktaeder je v geometriji konveksni polieder. Je arhimedsko telo, eno od trinajstih konveksnih izogonalnih neprizmatičnih teles skonstruirano z dvema ali več vrstami pravilnih mnogokotniških stranskih ploskev.

    Ima štirinajst pravilnih stranskih ploskev, od tega osem enakostraničnotrikotniških in šest kvadratnih. Ima 24 popolnoma skladnih robov, ki vsak ločuje enakostranični trikotnik od kvadrata, ter 12 popolnoma enakih oglišč, v katerih se stikajo dva enakostranična trikotnika in dva kvadrata. Zaradi tega je polpravilni polieder, ki je tako ogliščno kot robovnoprehoden.

    Njegov dualni polieder, oziroma Catalanovo telo, je rombski dodekaeder.

    Telo je bilo verjetno znano Platonu. V Heronovih Definitiones je naveden Arhimed, ki naj bi izrekel, da je Platon vedel za telo sestavljeno iz 8-ih trikotnikov in 6-ih kvadratov.[1]

    Vsebina

    Druga imena

    Kartezične koordinate

    Kartezične koordinate 12 oglišč kubooktaedra s središčem v izhodišču z dolžino robu enako so:

    (±1, ±1, 0)
    (±1, 0, ±1)
    (0, ±1, ±1)

    Alternativna množica koordinat obstaja v 4-prostoru kot 12 permutacij:

    (0, 1, 1, 2)

    Ta konstrukcija obstaja kot ena od 16-ih ortantnih facet kantelirane 16-celice.

    Korenski vektorji

    12 oglišč kubooktaedra lahko predstavlja korenske vektorje enostavne Liejeve grupe A3. Z dodatnimi 6-imi oglišči oktaedra ta oglišča predstavljajo 18 korenskih vektorjev enostavne Liejeve grupe B3.

    Površina in prostornina

    Površina P in prostornina V kubooktaedra z dolžino robu a sta:

    Če se skonstruira množica vseh 13-ih arhimedskih teles z enakimi dolžinami robov, bi bil kubooktaeder najmanjši.

    Pravokotne projekcije

    Kubooktaeder ima štiri posebne pravokotne projekcije usrediščene na oglišče, rob in dve vrsti stranskih ploskev (enakostranični trikotniki in kvadrati). Zadnji dve odgovarjata Coxeterjevima ravninama B2 in A2. Poševni projekciji kažeta kvadrat in šestkotnik, ki potekata skozi središče kubooktaedra.

    Pravokotne projekcije
    usrediščeno na oglišče
     
     
    rob
     
     
    stransko ploskev
    kvadrat
    stransko ploskev –
    enakostranični trikotnik
    poševni projekciji
     
     
    slika Cube t1 v.png Cube t1 e.png 3-cube t1 B2.svg 3-cube t1.svg Cuboctahedron B2 planes.png Cuboctahedron 3 planes.png
    projektivna
    simetrija
    [2] [2] [4] [6]    
    rombski
    dodekaeder
    Dual cube t1 v.png Dual cube t1 e.png Dual cube t1 B2.png Dual cube t1.png Dual cube t1 skew1.png Dual cube t1 skew2.png

    Sferno tlakovanje

    Kubooktaeder se lahko predstavi tudi kot sferno tlakovanje in projicira na ravnino s stereografsko projekcijo. Ta projekcija je konformna in ohranja kote ne pa tudi ploščin ali dolžin. Premice na sferi se projicirajo kot krožni loki na ravnino.

    ortografska projekcija stereografski projekciji
    Uniform tiling 432-t1.png Cuboctahedron stereographic projection square.png Cuboctahedron stereographic projection triangle.png
      usrediščeno na kvadrat usrediščeno na enakostranični trikotnik

    Disekcija

    Kubooktaeder se lahko razdeli na dve trikotniški kupoli s skupnim šestkotnikom, ki poteka skozi središče kubooktaedra. Če se ti dve trikotniški kupoli zavrtita tako, da se med seboj poravnajo trikotniki in kvadrati, nastane Johnsonovo telo J27, trikotniška ortobikupola, ki se imenuje tudi antikubooktaeder.

    Cuboctahedron 3 planes.pngTriangular cupola.pngTriangular orthobicupola.png

    Kubooktaeder se lahko razdeli tudi na 6 kvadratnih piramid in 8 tetraedrov, ki se srečajo v središču. Ta disekcija je izražena v alterniranem kubičnem satovju, kjer so pari kvadratnih piramid kombinirani v oktaedre.

    TetraOctaHoneycomb-VertexConfig.svg

    Geometrijski odnosi

    Razvijanje tetraedra razširjenega v kubooktadeder in obratno razširjenega v dualni tetraeder
    Razvijanje oktaedra v psevdoikozaeder in kubooktaeder

    Kubooktaeder lahko nastane z ustreznim presekom štirirazsežne 16-celice.

    Kubooktaeder ima oktaedrsko simetrijo. Njegova prva stelacija je sestav kocke in njenega duala oktaedra, kjer oglišča kubooktaedra ležijo na razpoloviščih robov obeh teles.

    Kubooktaeder je rektificirana kocka in tudi rektificirani oktaeder.

    Je tudi kantelirani tetraeder. S to konstrukcijo je dan Wythoffov simbol: 3 3 | 2. Cantellated tetrahedron.png

    Poševna kantelacija tetraedra tvori telo s stranskimi ploskvami vzporednimi s stranskimi ploskvami kubooktaedra, osem tikotnikov dveh velikosti in šest pravokotnikov. Njegovi robovi sicer niso enaki, ostaja pa točkovnoprehoden: ima polno tetraedrsko simetrijsko grupo in njegova oglišča so pod njo enakovredna.

    RObovi kubooktaedra tvorijo pravilni šestkotnik. Če se oktaeder preseka v ravnini enega od teh šestkotnikov, vsaka nastala polovica predstavlja trikotniško kupolo, enega od Johnsonovih teles J3. Zaradi tega se lahko kubooktaeder imenuje tudi trikotniška girobikupola, najpreprostejša v nizu (poleg girobifastigija ali »diagonalne girobikupole«). Če se polovici zavrtita tako, da se med seboj poravnajo trikotniki in kvadrati, in nazaj spojita, nastane novo Johnsonovo telo, J27, trikotniška ortobikupola, imenovana tudi antikubooktaeder.

    Obe trikotniški bikupoli sta pomembni pri pakiranju krogel. Razdalja med središčem telesa do njegovih oglišč je enaka dolžini robov. Vsaka središčna krogla ima lahko do dvanajst sosedov, in v ploskovnocentrirani kubični mreži ti lahko zavzamejo lege oglišč kubooktaedra. V šeskotniški gostopakirani mreži odgovarjajo ogliščem trikotniške ortobikupole. V obeh primerih središčna krogla leži v središču telesa.

    Kubooktaedri se pojavljajo kot celice v treh konveksnih uniformnih satovjih in v devetih uniformnih polihoronih.

    Prostornina kubooktaedra je 5/6 ograjene kocke in 5/8 ograjenega oktaedra.

    Razvrstitev oglišč

    Kubooktaeder ima enako razvrstitev robov in oglišč kot dva nekonveksna uniformna poliedra: kubohemioktaeder (skupne kvadratne stranske ploskve) in oktahemioktaeder (skupne trikotniške stranske ploskve). Velja tudi kot kantelirani tetraeder kot rektificirani tetratetraeder.

    Cuboctahedron.png
    kubooktaeder
    Cubohemioctahedron.png
    kubohemioktaeder
    Octahemioctahedron.png
    oktahemioktaeder

    Kubooktaeder 2-pokrije tetrahemiheksaeder,[3] ki ima temu ustrezno enako abstraktno sliko oglišč (dva trikotnika in dva kvadrata: 3.4.3.4) in polovico oglišč, robov in stranskih ploskev. (Dejanska slika oglišč tetrahemiheksaedra je 3.4.3/2.4, s faktorjem a/2 zaradi križa.)

    Cuboctahedron.png
    kubooktaeder
    Tetrahemihexahedron.png
    tetrahemiheksaeder

    Sorodni poliedri

    Kubooktaeder predstavlja eno družino uniformnih poliedrov povezanih s kocko in pravilnim oktoedrom.

    Kubooktaeder ima tudi tetraedrsko simetrijo z dvema barvama trikotnikov.

    Sorodni kvazipravilni poliedri in tlakovanja

    Kubooktaeder obstaja v zaporedju simetrij kvazipravilnih poliedrov in tlakovanj s konfiguracijami oglišč (3.n)2, od tlakovanja sfere do evklidske ravnine v hiperbolično ravnino. Z orrbiteričnim zapisom simetrije *n32 so vsa ta tlakovanja Wythoffova konstrukcija znotraj fundamentalne domene simetrije, z generatorskimi točkami ob oglišču domene s pravim kotom.[4][5]

    Ta polieder je topološko povezan kot del niza kanteliranih poliedrov s sliko oglišč (3.4.n.4) in se nadaljuje kot tlakovanje hiperbolične ravnine. Te ogliščnoprehodne oblike imajo zrcalno simetrijo (*n32).

    Sorodni politopi

    Pravokotne projekcije 24-celice

    Kubooktaeder se lahko razstavi v pravilni oktaeder in osem nepravilnih vendar skladnih oktaedrov v obliki konveksne ogrinjače kocke z dvema nasprotnima ogliščema odstranjenima. Ta dekompozicija kubooktaedra odgovarja projekciji v tri razsežnosti 24-celice vzporedni s prvo celico. Pod to projekcijo kubooktaeder tvori projekcijsko ogrinjačo, ki se lahko razstavi v šest kvadratnih stranskih ploskev, pravilni oktaeder in osem nepravilnih oktaedrov. Ti elementi odgovarjajo slikam šestim oktaedrskim celicam v 24-celici, najbližji in najbolj oddaljene celice iz štirirazsežnega pogleda in preostalih osem parov celic.

    Pojavitev v kulturi in medijih

    Glej tudi

    Sklici

    1. Heath (1931), str. 176.
    2. Fuller, R. Buckminster. "Vector Equilibrium" (angleščina).
    3. Richter, David A., Two Models of the Real Projective Plane (angleščina), pridobljeno dne 2016-06-27
    4. Coxeter (1973).
    5. Huson (1991).

    Viri

    Nadaljnje branje

    • Cromwell, Peter Richard (1997), "Archimedean solids", Polyhedra, Cambridge, New York: Cambridge University Press, str. 79–86, COBISS 6472537, ISBN 0-521-55432-2
    • Ghyka, Matila (1977), The geometry of art and life. ([Nachdr.] izd.), New York: Dover Publications, str. 51–56, 81–84, ISBN 9780486235424
    • Weisstein, Eric Wolfgang (2002). "Cuboctahedron". CRC Concise Encyclopedia of Mathematics (2. izd.). Hoboken: CRC Press. str. 620–621. ISBN 9781420035223.
    • Williams, Robert Edward (1979), "Section 3-9", The Geometrical Foundation of Natural Structure: A Source Book of Design, Dover Publications, Inc, ISBN 0-486-23729-X

    Zunanje povezave