Išči

    Množica

    Mnóžica je v matematiki skupina abstraktnih ali stvarnih (konkretnih) reči. Te reči se imenujejo elementi in se jih med seboj loči (razlikuje - tj. dva elementa med sabo ne moreta biti enaka). Medsebojne odnose (relacije), strukture in medsebojne preslikave množic preučuje teorija množic.

    Glavni pojem teorije množic je pripadnost. Element x lahko pripada množici M () ali pa tudi ne ().

    Množica, ki ji ne pripada noben element, se imenuje prazna množica. Vse druge množice vsebujejo vsaj po en element. Množica vseh elementov, o katerih je smiselno govoriti, se imenuje univerzalna množica.

    Vsebina

    Zapis množice

    Množico se lahko zapiše na različne načine:

    Množico se lahko poda tudi slikovno - najbolj znan slikovni prikaz množice je Vennov diagram.

    Računanje z množicami

    Obstaja več računskih operacij z množicami:

    Množice so med sabo urejene z relacijo »podmnožica« – množica A je podmnožica množice B, če so vsi elementi množice A vključeni tudi v množico B. Vse podmnožice dane množice sestavljajo potenčno množico.

    Neskončne množice

    Glavni problem, ki je sploh sprožil nastanek teorije množic, je vprašanje neskončno velikih množic. Ali so vse neskončno velike množice med seboj enakovredne? Georg Ferdinand Cantor je na vprašanje odgovoril nikalno. Pri tem je uporabil pojem ekvipolentnost, ki opisuje, kdaj imata dve množici enako število elementov oziroma enako moč. Pri končnih množicah je opazil, da imata množici enako število elementov, če in samo če med njima obstaja bijektivna preslikava. To je potem posplošil na neskončne množice in definiral, da sta poljubni množici ekvipolentni, če med njima obstaja bijektivna preslikava.

    Najmanjša neskončna množica je množica naravnih števil . Izkaže se, da je ekvipolentna množici celih števil in tudi množici racionalnih števil . Elemente teh množic se lahko uredi po vrstnem redu in se jih oštevilči z naravnimi števili - te množice so števno neskončne.

    Zanimivo je, da množica realnih števil ni ekvipolentna zgoraj naštetim množicam. Cantor je v svojem znamenitem diagonalnem dokazu dokazal, da ima množica bistveno več elementov - ima moč kontinuuma. Moč kontinuuma ima tudi množica kompleksnih števil , pa tudi množica točk v ravnini ali množica točk v prostoru.

    Glej tudi