Išči

    Notacija orbifold

    Notacija orbifold je v geometriji sistem, ki pomaga prikazovati simetrijske grupe v dvorazsežnem prostoru, ki ima konstantno ukrivljenost. Prednost te vrste notacije je v tem, da opisuje te grupe na način, ki označuje mnoge značilnosti grup.

    Notacijo je izumil ameriški matematik William Thurston (rojen 1946), populariziral pa jo je angleški matematik John Horton Conway (rojen 1937).

    Vsebina

    Definicija notacije

    Naslednje vrste evklidskih transformacij so možne v grupi, ki jo opisuje notacija orbifold:

    Vse translacije, ki nastopajo, sestavljajo nezvezno podgrupo grup simetrije.

    Vsaka grupa je v notaciji orbifold označena s končnim zaporedjem znakov, ki so lahko

    Znaki, zapisani v mastnem tisku predstavljajo simetrijsko grupo v evklidskem trirazsežnem prostoru.

    Vsak znak pripada drugi transformaciji:

    Kiralnost in akiralnost

    Objekt je kiralen, če njegova grupa simetrije ne vsebuje zrcaljenja. V nasprotnem primeru je akiralen. Pripadajoči orbifold je orientabilen v primeru kiralnosti, sicer pa je neorientabilen.

    Eulerjeva karakteristika

    Eulerjeva karakteristika orbifolda se lahko prebere iz Conwayjevega simbola. Vsak znak ima svoj pomen :

    Z odštevanjem vsote teh vrednosti od 2 dobimo Eulerjevo karakteristiko.

    Če je vsota tega enaka 2, je red neskončen. To pa pomeni, da notacija predstavlja tapetno ali frizijsko grupo.

    Enake grupe

    Naslednje grupe so izomorfne:

    Drugi objekti

    Simetrija dvorazsežnih objektov brez translacijske simetrije se lahko opiše z vrsto trirazsežne simetrije z dodajanjem tretje razsežnosti tako, da ne doda ali odstrani simetrijo.

    Bentley Snowflake13.jpg
    Prava snežinka ima simetrijo *66.
    Pentagon symmetry as mirrors 2005-07-08.png
    petkotnik ima simetrijo *55, celotna slika s puščicami pa 55.
    Flag of Hong Kong.svg
    Zastava Hong Konga ima 5 kratno simetrijo vrtenja, 55.

    Pripadajoče tabele

    Sferni

    simetrija 532
    grupe sferne simetrije: (n=3,4,..)[1]
    oznaka
    orbifold
    Coxeter Schönflies Hermann–Mauguin Order
    poliederska grupa
    *532 [3,5] Ih 53m 120
    532 [3,5]+ I 532 60
    *432 [3,4] Oh m3m 48
    432 [3,4]+ O 432 24
    *332 [3,3] Td 43m 24
    3*2 [3+,4] Th m3 24
    332 [3,3]+ T 23 12
    diedrska in ciklične grupe: n=3,4,5...
    *22n [2,n] Dnh n/mmm ali 2nm2 4n
    2*n [2+,2n] Dnd 2n2m ali nm 4n
    22n [2,n]+ Dn n2 2n
    *nn [n] Cnv nm 2n
    n* [2,n+] Cnh n/m ali 2n 2n
    nx [2+,2n+] S2n 2n ali n 2n
    nn [n]+ Cn n n
    posebni primeri
    *222 [2,2] D2h 2/mmm ali 22m2 8
    2*2 [2+,4] D2d 222m ali 2m 8
    222 [2,2]+ D2 22 4
    *22 [2] C2v 2m 4
    2* [2,2+] C2h 2/m ali 22 4
    2x [2+,4+] S4 22 ali 2 4
    22 [2]+ C2 2 2
    *221 [1,2] D1h 1/mmm ali 21m2 4
    2*1 [2+,2] D1d 212m ali 1m 4
    221 [1,2]+ D1 12 2
    *11 [ ] C1v 1m 2
    1* [2,1+] C1h 1/m ali 21 2
    1x [2+,2+] S2 21 ali 1 2
    11 [ ]+ C1 1 1

    Evklidska ravnina

    Frizijske grupe

    Frizijske grupe
    notacije opis zgledi
    IUC orbifold Coxeter Schönflies*
    p1 ∞∞ [∞,1]+ C Samo translacije. Ta grupa se generira posamezno, z generatorjem, ki je najmanjša razdalja v kateri se vzorec še ponavlja. Abstraktna grupa: Z, grupa celih števil pod seštevanjem. Frieze2b.png
    p11g ∞x [∞+,2+] S Drsenje-zrcaljenje in translacije. Ta grupa se generira z drsnim zrcaljenjem skupaj s translacijami, ki so kombinacije dveh drsnih zrcaljenj. Abstraktna grupa: Z
    p11m ∞* [∞+,2] C∞h Translacije v horizontalni smeri in drsno zrcaljenje. Ta grupa se generira s translacijo in zrcaljenjem v horizontalni osi. Abstraktna grupa: Z × Z2
    p1m1 *∞∞ [∞,1] C∞v Translacije in zrcaljenje vzdolž vertikalnih črt. Ta grupa je ista kot netrivialna grupa v enorazsežnem primeru.Generirana je s translacijo in zrcaljenjem v vertikalni osi. Elementi v tej grupi odgovarjajo izometrijam (ali enakovredno bijektivnim afinim transformacijam) množice celih števil in je tako izomorfna množici polneposrednih produktov s celimi števili z Z2. Abstraktna grupa: Dih, neskončna diedrska grupa.
    p2 22∞ [∞,2]+ D Translacije in vrtenja za 180°. Grupa se generira s translacijo in vrtenjem za 180° . Abstraktna grupa: Dih
    p2mg 2*∞ [∞,2+] D∞d Zrcaljenje preko določenih vertikalnih črt, drsno zrcaljenje, translacije in vrtenja. Translacije v tem primeru nastanejo z drsnim zrcaljenjem. Ta grupa se generira z drsnim zrcaljenjem ali vrtenjem ali vertikalnim zrcaljenjem. Abstraktna grupa: Dih
    p2mm *22∞ [∞,2] D∞h Translacije, drsno zarcaljenje, zrcaljenje v obeh oseh in vrtenja za 180°. Ta grupa je "največja" frizijska grupa in potrebuje tri generatorje z eno skupino generatojev, ki so sestavljeni iz translacije in zrcaljenja v horizontalni osi in zrcaljenja preko vertikalne osi. Abstraktna grupa: Dih × Z2
    *Schönfliesova notacija točkovne grupe je tukaj razširjena kot neskončni primer ekvivalenta diedrskih točkovnih simetrij.

    Tapetne grupe

    simetrija 632
    17 tapetnih grup[2]
    oznaka
    orbifold
    Coxeter Hermann–Mauguin Speiser
    Niggli
    Polya
    Guggenhein
    Fejes Toth
    Cadwell
    *632 [6,3] p6m C(I)6v D6 W16
    632 [6,3]+ p6 C(I)6 C6 W6
    *442 [4,4] p4m C(I)4 D*4 W14
    4*2 [4+,4] p4g CII4v Do4 W24
    442 [4,4]+ p4 C(I)4 C4 W4
    *333 [3[3]] p3m1 CII3v D*3 W13
    3*3 [6,3+] p31m CI3v Do4 W23
    333 [3[3]]+ p3 CI3 C3 W3
    *2222 [∞,2,∞] pmm CI2v D2kkkk W22
    2*22 [∞,2+,∞] cmm CIV2v D2kgkg W12
    22* [(∞,2)+,∞] pmg CIII2v D2kkgg W32
    22x [∞+,2+,∞+] pgg CII2v D2gggg W42
    2222 [∞,2,∞]+ p2 C(I)2 C2 W2
    ** [∞,2,∞+] pm CIs D1kk W21
    *x [∞,2+,∞+] cm CIIIs D1kg W11
    xx [(∞,2)+,∞+] pg CII2 D1gg W31
    o [∞+,2,∞+] p1 C(I)1 C1 W1

    Hiperbolična ravnina

    simetrija 732

    Prvih nekaj hiperboličnih grup, urejenih po njihovih orbifold značilnostih je:

    Hiperbolične simetrijske grupe[3]
    (-1/znak) orbifold Coxeter
    (84) *237 [7,3]
    (48) *238 [8,3]
    (42) 237 [7,3]+
    (40) *245 [5,4]
    (24) *2.3.12, *246, *334, 3*4, 238 [12,3], [6,4], [(4,3,3)], [3+,8], [8,3]+
    (20) *2.3.15, *255, 5*2, 245 [15,3], [5,5], [5+,4], [5,4]+
    (18+2/3) *247 [7,4]
    (18) *2.3.18, 239 [18,3], [9,3]+
    (16) *2.3.24, *248 [24,3], [8,4]
    (15) *2.3.30, *256, *335, 3*5, 2.3.10 [30,3], [6,5], [(5,3,3)], [3+,10], [10,3]+
    (14+2/5) *2.3.36, *249 [36,3], [9,4]
    (13+1/3) *2.3.60, *2.4.10 [60,3], [10,4]
    (13+1/5) *2.3.66, 2.3.11 [66,3], [11,3]+
    (12+8/11) *2.3.105, *257 [105,3], [7,5]
    (12+4/7) *2.3.132, *2.4.11 ... *23∞, *2.4.12, *266, 6*2 [132,3], [11,4], ..., [∞,3], [12,4], [6,6], [6+,4]
    (12) *336, 3*6, *344, 4*3, *2223, 2*23, 2.3.12, 246, 334 [(6,3,3)], [3+,12], [(4,4,3)], [4+,6], ... [12,3]+, [6,4]+ [(4,3,3)]+
    ...

    Opombe in sklici

    1. Symmetries of Things, Dodatek A, stran 416
    2. Symmetries of Things, dodatek A, stran 416
    3. Symmetries of Things, poglavje 18, More on Hyperbolic groups, Enumerating hyperbolic groups, stran 239

    Zunanje povezave