Išči

    Petriejev mnogokotnik

    Petriejev mnogokotnik za pravilne politope z razsežnostjo je nagnjeni mnogokotnik v katerih vsaka zaporedna stranica (n - 1) pripada eni od facet. Petriejev mnogokotnik pravilnega mnogokotnika je sam po sebi pravilen mnogokotnik. Tako je za pravilni polieder nagnjeni mnogokotnik tisti, ki mu za vsaki dve zaporedni stranici (ne pa tri) pripada ena od stranskih ploskev.[1]

    Za vsak pravilni politop obstaja pravokotna projekcija na ravnino tako, da Petriejev mnogokotnik postane pravilni mnogokotnik.

    Petriejevi mnogokotniki so neravninski mnogokotniki, katerih robovi so podmnožica robov poliedrov.[2]

    Ravnina, ki se jo obravnava, je Coxeterjeva ravnina s simetrijsko grupo mnogokotnika in s številom stranic , ki so Coxeterjeva števila Coxeterjeve grupe. Ti mnogokotniki in projicirani grafi so zelo uporabni za predstavo o strukturi simetrije za politope v višjih razsežnostih.

    Vsebina

    Zgodovina

    John Flinders Petrie (1907–1972) je bil prvi, ki je spoznal pomembnost poševnih mnogokotnikov. Po njem se tudi imenujejo mnogokotniki. Bil je edini sin egiptologa Flindersa Petrieja (1853–1942).

    Petriejevi mnogokotniki pravilnih poliedrov

    Petriejev mnogokotnik pravilnega poliedra {p, q} s h stranicami je:

    cos2(π/h) = cos2(π/p) + cos2(π/q).

    Pravilna duala {p, q} in {q, p} sta v istem projiciranem Petriejevem mnogokotniku.

    Petriejevi mnogokotniki za pravilne poliedre (rdeči mnogokotniki)
    Petrie polygons.png
    tetraeder kocka oktaeder dodekaeder ikozaeder
    CDel node 1.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel node.png CDel node 1.pngCDel 4.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel node.png CDel node 1.pngCDel 3.pngCDel node.pngCDel 4.pngCDel node.png CDel node 1.pngCDel 5.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel node.png CDel node 1.pngCDel 3.pngCDel node.pngCDel 5.pngCDel node.png
    centrirano na stranico centrirano na oglišče centrirano na stransko ploskev centrirano na stransko ploskev centrirano na oglišče
    4 stranice 6 stranic 6 stranic 10 stranic 10 stranic
    V:(4,0) V:(6,2) V:(6,0) V:(10,10,0) V:(10,2)
    Petriejevi mnogokotniki so zunanjost teh ortogonalnih projekcij. Modro kaže "sprednje" robove, črne črte kažejo zadnje robove.

    Koncentrični obroč oglišč se šteje od zunanje strani navznoter z oznako: V:(ab, ...) in se konča z nič, če ni središčnega oglišča.

    Petriejevi mnogokotniki pravilnih polihoronov (4-politopov)

    4-simplex t0.svg
    {3,3,3}
    CDel node 1.pngCDel 3.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel node.png
    5-celica
    5 stranskih ploskev
    V:(5,0)
    4-orthoplex.svg
    {3,3,4}
    CDel node 1.pngCDel 3.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel node.pngCDel 4.pngCDel node.png
    16-celica
    8 stranskih ploskev
    V:(8,0)
    4-cube graph.svg
    {4,3,3}
    CDel node 1.pngCDel 4.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel node.png
    teserakt
    8 stranskih ploskev
    V:(8,8,0)
    24-cell t0 F4.svg
    {3,4,3}
    CDel node 1.pngCDel 3.pngCDel node.pngCDel 4.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel node.png
    24-celica
    12 stranskih ploskev
    V:(12,6,6,0)
    120-cell graph H4.svg
    {5,3,3}
    CDel node 1.pngCDel 5.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel node.png

    120-celica
    30 stranskih ploskev
    V:((30,60)3,603,30,60,0)
    600-cell graph H4.svg
    {3,3,5}
    CDel node 1.pngCDel 3.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel node.pngCDel 5.pngCDel node.png

    600-celica
    30 stranskih ploskev
    V:(30,30,30,30,0)

    Projekcije Petriejevih mnogokotnikov pravilnih in uniformnih politopov

    Projekcije Petriejevih mnogokotnikov so ena izmed najbolj uporabnih načinov za prikaz politopov, ki imajo razsežnost štiri in več. V spodnji preglednici so prikazane projekcije Petriejevih mnogokotnikov treh družin simpleksov, hiperkock in ortopleksov ter posebnih Liejevih grup En, ki generirajo polpravilne in uniformne politope za razsežnosti od 4 do 8.


    Pregled družin politopov
    Coxeterjeva grupa An BCn Dn
    E6 E7 E8 F4 G2
    Hn
    2 2-simplex t0.svg
    trikotnik
    CDel node 1.pngCDel node.png
    2-orthoplex.svg
    kvadrat
    CDel node 1.pngCDel 4.pngCDel node.png
      Regular hexagon.svg

    šestkotnik
    CDel node 1.pngCDel 6.pngCDel node.png
    Regular pentagon.svg

    petkotnik
    CDel node 1.pngCDel 5.pngCDel node.png
    3 Tetrahedron petrie.png

    tetraeder
    CDel nodea 1.pngCDel 3a.pngCDel branch.pngCDel 3a.pngCDel nodea.png
    Cube petrie.png

    kocka
    CDel node 1.pngCDel 4.pngCDel node.png
    Octahedron petrie.png

    oktaeder
    CDel node 1.pngCDel node.pngCDel 4.pngCDel node.png
    3-demicube.svg

    tetraeder
    CDel nodea 1.pngCDel 3a.pngCDel branch.png
      Dodecahedron petrie.png

    dodekaeder
    CDel node 1.pngCDel 5.pngCDel node.pngCDel node.png
    Icosahedron petrie.png

    ikozaeder
    CDel node 1.pngCDel node.pngCDel 5.pngCDel node.png
    4 4-simplex t0.svg

    5-celica
    CDel node 1.pngCDel node.pngCDel node.pngCDel node.png
    4-cube graph.svg
    teserakt
    CDel node 1.pngCDel node.pngCDel 4.pngCDel node.pngCDel node.pngCDel node.png
    4-orthoplex.svg

    16-celica
    CDel node 1.pngCDel node.pngCDel node.pngCDel 4.pngCDel node.png
    4-demicube.svg
    polteserakt
    CDel nodea 1.pngCDel 3a.pngCDel branch.pngCDel 3a.pngCDel nodea.png
    24-cell graph F4.svg

    24-celica
    CDel node 1.pngCDel 3.pngCDel node.pngCDel 4.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel node.png
    120-cell petrie polygon.svg

    120-celica
    CDel node 1.pngCDel 5.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel node.png
    600-cell petrie polygon.svg

    600-celica
    CDel node 1.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel node.pngCDel 5.pngCDel node.png
    5 5-simplex t0.svg

    5-simpleks
    CDel node 1.pngCDel node.pngCDel node.pngCDel node.pngCDel node.png
    5-cube graph.svg

    5-kocka
    CDel node 1.pngCDel 4.pngCDel node.pngCDel node.pngCDel node.pngCDel node.png
    5-orthoplex.svg

    5-ortopleks
    CDel node 1.pngCDel node.pngCDel node.pngCDel node.pngCDel 4.pngCDel node.png
    5-demicube.svg

    5-polkocka
    CDel nodea 1.pngCDel 3a.pngCDel branch.pngCDel 3a.pngCDel nodea.pngCDel nodea.png
       
    6 6-simplex t0.svg

    6-simpleks
    CDel node 1.pngCDel node.pngCDel node.pngCDel node.pngCDel node.pngCDel node.png
    6-cube graph.svg

    6-kocka
    CDel node 1.pngCDel 4.pngCDel node.pngCDel node.pngCDel node.pngCDel node.pngCDel node.png
    6-orthoplex.svg

    6-ortopleks
    CDel node 1.pngCDel node.pngCDel node.pngCDel node.pngCDel node.pngCDel 4.pngCDel node.png
    6-demicube.svg

    6-polkocka
    CDel nodea 1.pngCDel 3a.pngCDel branch.pngCDel 3a.pngCDel nodea.pngCDel nodea.pngCDel nodea.png
    Up 1 22 t0 E6.svg

    122
    CDel nodea.pngCDel nodea.pngCDel 3a.pngCDel branch 01lr.pngCDel 3a.pngCDel nodea.pngCDel nodea.png
    E6 graph.svg

    221
    CDel nodea.pngCDel nodea.pngCDel 3a.pngCDel branch.pngCDel 3a.pngCDel nodea.pngCDel nodea 1.png
     
    7 7-simplex t0.svg

    7-simpleks
    CDel node 1.pngCDel node.pngCDel node.pngCDel node.pngCDel node.pngCDel node.pngCDel node.png
    7-cube graph.svg

    7-kocka
    CDel node 1.pngCDel 4.pngCDel node.pngCDel node.pngCDel node.pngCDel node.pngCDel node.pngCDel node.png
    7-orthoplex.svg

    7-ortopleks
    CDel node 1.pngCDel node.pngCDel node.pngCDel node.pngCDel node.pngCDel node.pngCDel 4.pngCDel node.png
    7-demicube.svg

    7-polkocka
    CDel nodea 1.pngCDel nodea.pngCDel 3a.pngCDel branch.pngCDel 3a.pngCDel nodea.pngCDel nodea.png
    Gosset 1 32 petrie.svg

    132
    CDel nodea.pngCDel 3a.pngCDel nodea.pngCDel 3a.pngCDel nodea.pngCDel 3a.pngCDel branch 01lr.pngCDel 3a.pngCDel nodea.pngCDel 3a.pngCDel nodea.png
    Gosset 2 31 polytope.svg

    231
    CDel nodea.pngCDel 3a.pngCDel nodea.pngCDel 3a.pngCDel nodea.pngCDel 3a.pngCDel branch.pngCDel 3a.pngCDel nodea.pngCDel 3a.pngCDel nodea 1.png
    E7 graph.svg

    321
    CDel nodea 1.pngCDel nodea.pngCDel nodea.pngCDel 3a.pngCDel branch.pngCDel 3a.pngCDel nodea.pngCDel nodea.png
     
    8 8-simplex t0.svg

    8-simpleks
    CDel node 1.pngCDel node.pngCDel node.pngCDel node.pngCDel node.pngCDel node.pngCDel node.pngCDel node.png
    8-cube.svg

    8-kocka
    CDel node 1.pngCDel node.pngCDel node.pngCDel node.pngCDel node.pngCDel node.pngCDel node.pngCDel 4.pngCDel node.png
    8-orthoplex.svg

    8-ortopleks
    CDel node 1.pngCDel node.pngCDel node.pngCDel node.pngCDel node.pngCDel node.pngCDel node.pngCDel 4.pngCDel node.png
    8-demicube.svg

    8-polkocka
    CDel nodea 1.pngCDel 3a.pngCDel branch.pngCDel 3a.pngCDel nodea.pngCDel nodea.pngCDel nodea.pngCDel nodea.png
    Gosset 1 42 polytope petrie.svg

    142
    CDel nodea.pngCDel 3a.pngCDel nodea.pngCDel 3a.pngCDel nodea.pngCDel 3a.pngCDel nodea.pngCDel 3a.pngCDel branch 01lr.pngCDel 3a.pngCDel nodea.pngCDel 3a.pngCDel nodea.png
    2 41 polytope petrie.svg

    241
    CDel nodea.pngCDel 3a.pngCDel nodea.pngCDel 3a.pngCDel nodea.pngCDel 3a.pngCDel nodea.pngCDel 3a.pngCDel branch.pngCDel 3a.pngCDel nodea.pngCDel 3a.pngCDel nodea 1.png
    Gosset 4 21 polytope petrie.svg

    421
    CDel nodea 1.pngCDel nodea.pngCDel nodea.pngCDel nodea.pngCDel 3a.pngCDel branch.pngCDel 3a.pngCDel nodea.pngCDel nodea.png
     
    9 9-simplex t0.svg

    9-simpleks
    CDel node 1.pngCDel node.pngCDel node.pngCDel node.pngCDel node.pngCDel node.pngCDel node.pngCDel node.pngCDel node.png
    9-cube.svg

    9-kocka
    CDel node 1.pngCDel 4.pngCDel node.pngCDel node.pngCDel node.pngCDel node.pngCDel node.pngCDel node.pngCDel node.pngCDel node.png
    9-orthoplex.svg

    9-ortopleks
    CDel node 1.pngCDel node.pngCDel node.pngCDel node.pngCDel node.pngCDel node.pngCDel node.pngCDel node.pngCDel 4.pngCDel node.png
    9-demicube.svg

    9-polkocka
    CDel nodea 1.pngCDel 3a.pngCDel branch.pngCDel 3a.pngCDel nodea.pngCDel nodea.pngCDel nodea.pngCDel nodea.pngCDel nodea.pngCDel nodea.pngCDel nodea.png
    10 10-simplex t0.svg 10-simpleksCDel node 1.pngCDel node.pngCDel node.pngCDel node.pngCDel node.pngCDel node.pngCDel node.pngCDel node.pngCDel node.pngCDel node.png 10-cube.svg 10-kocka
    CDel node 1.pngCDel 4.pngCDel node.pngCDel node.pngCDel node.pngCDel node.pngCDel node.pngCDel node.pngCDel node.pngCDel node.pngCDel node.png
    10-orthoplex.svg 10-ortopleks
    CDel node 1.pngCDel node.pngCDel node.pngCDel node.pngCDel node.pngCDel node.pngCDel node.pngCDel node.pngCDel node.pngCDel 4.pngCDel node.png
    10-demicube.svg 10-polkocka
    CDel nodea 1.pngCDel 3a.pngCDel branch.pngCDel 3a.pngCDel nodea.pngCDel nodea.pngCDel nodea.pngCDel nodea.pngCDel nodea.pngCDel nodea.pngCDel nodea.pngCDel nodea.png
    družina
    n
    n-simpleks n-hiperkocka n-ortopleks n-polkocka 1k2 2k1 k21

    Sklici

    1. Kaleidoscopes: Selected Writings of H. S. M. Coxeter, editied by F. Arthur Sherk, Peter McMullen, Anthony C. Thompson, Asia Ivic Weiss, Wiley-Interscience Publication, 1995, ISBN 978-0-471-01003-6 [1] (Definicija: listina 13, Diskretne grupe generirane z zrcaljenjem, 1933, s. 161)
    2. Podatek na Epinet-u

    Zunanje povezave