Išči

    Pitagorejska trojica

    Animacija prikazuje najenostavnejšo pitagorejsko trojico .

    Pitagoréjska trojica so v matematiki tri pozitivna cela števila a, b, c za katera velja a2 + b2 = c2. Ime izhaja iz Pitagorovega izreka, kjer vsak pravokotni trikotnik s celoštevilskimi dolžinami stranic da pitagorejsko trojico. Takšen trikotnik je pitagorejski trikotnik. Velja tudi obratno: vsaka pitagorejska trojica določa pravokotni trikotnik z danimi dolžinami stranic.

    Na primer:

                  a          b          c               3          4          5               5         12         13               6          8         10               7         24         25               8         15         17               9         12         15               9         40         41 

    Če je (a,b,c) pitagorejska trojica, je tudi (da,db,dc) za poljubno celo število d. Za pitagorejsko trojico rečemo, da je primitivna, če a, b in c nimajo skupnega delitelja. Trikotniki, ki jih opisujejo neprimitivne pitagorejske trojice so vedno sorazmerni trikotniku, ki jih določa manjša primitivna trojica.

    Graf raztrosa prvih 45.000 Piragorejskih trojic

    Če sta m > n pozitivni celi števili, potem je:

    a = m2n2,
    b = 2mn,
    c = m2 + n2

    pitagorejska trojica. Je primitivna samo in samo, če m in n nimata skupnega delitelja in je eden od njiju sod. Če sta n in m oba liha, potem bodo a, b in c sodi in pitagorejska trojica ne bo primitivna. Na ta način ne moremo tvoriti vsako pitagorejsko trojico. Vsaka primitivna trojica (pri spremembi a in b) pa nastane iz edinega para števil m > n brez skupnega delitelja. To kaže, da obstaja neskončno mnogo primitivnh pitagorejskih trojic.

    Za raziskovanje pitagorejskih trojic spremenimo izvirno enačbo v obliko:

    a2 = (cb)(c + b)

    Velja omeniti, da obstaja več kot ena primitivna pitagorejska trojica z istim najnižjim celim številom. Prvi primer je za 20, ki je najmanjše celo število dveh primitivnih trojic: 20 21 29 in 20 99 101.

    Število 1.229.779.565.176.982.820 je najnižje celo število v natanko 15.386 primitivnih trojicah. Najmanjši in največji trojici, katerih del je, sta:

    1.229.779.565.176.982.820
    1.230.126.649.417.435.981
    1.739.416.382.736.996.181

    in

    1.229.779.565.176.982.820
    378.089.444.731.722.233.953.867.379.643.788.099
    378.089.444.731.722.233.953.867.379.643.788.101.

    Kot zanimivost preučimo faktorizacijo števila 1.229.779.565.176.982.820 = 22 · 3 · 5 · 7 · 11 · 13 · 17 · 19 · 23 · 29 · 31 · 37 · 41 · 43 · 47. Število prafaktorjev je v zvezi z velikim številom primitivnih pitagorejskih trojic. Opazimo, da so večja cela števila, ki so najmanjša cela števila v še večjem številu primitivnih pitagorejskih trojic.

    Fermatov veliki izrek določa, da netrivialna trojica, podobna pitagorejski z eksponentom večjim od 2 ne obstaja.

    Glej tudi

    Zunanje povezave