Išči

    Polpolieder

    Polpolieder (tudi hemipolieder) je uniformni zvezdni polieder. Njegove stranske ploskve potekajo skozi njegovo središče. Te pol (»hemi«) stranske ploskve ležijo vzporedno z nekim drugim simetričnim poliedrom. Njihovo število je samo polovica stranskih ploskev tega drugega poliedra. Iz tega izhaja tudi predpona »hemi«.[1]

    Predpona »hemi« se uporablja tudi za določene projektivne poliedre kot je npr. polkocka, ki je slika preslikave 2 v 1 sfernega poliedra s centralno simetrijo.

    Vsebina

    Wythoffov simbol in slika oglišč

    Wythoffovi simboli imajo obliko p/(p − q) p/q | r; njihove slike oglišč so križni štirikotnik|križni štirikotniki. Slika oglišč je enaka p/q.2r.p/(p − q).2r. 2r-kotniške stranske ploskve tečejo skozi središče modela. Notacija p/(p − q) vključuje {p/q} stranskih ploskev, ki se obračajo nazaj okoli slike oglišč.

    Devet oblik skupaj s Wythoffovimi simboli je:

    Tetrahemihexahedron.png
    tetrahemiheksaeder
    3/2 3 ǀ 2
    (3.4.3/2.4)
    (p/q = 3, r = 2)
    Octahemioctahedron.png
    oktahemioktaeder
    3/2 3 ǀ 3
    (3.6.3/2.6)
    (p/q = 3, r = 3)
    Small icosihemidodecahedron.png
    mali ikozihemidodekaeder
    3/2 3 ǀ 5
    (3.10.3/2.10)
    (p/q = 3, r = 5)
    Great icosihemidodecahedron.png
    veliki ikozihemidodekaeder
    3/2 3 ǀ 5/3
    (3.10/3.3/2.10/3)
    (p/q = 3, r = 5/3)
    Small dodecahemicosahedron.png
    mali dodekahemiikozaeder
    5/3 5/2 ǀ 3
    (5/2.6.5/3.6)
    (p/q = 5/2, r = 3)
      Cubohemioctahedron.png
    kubohemioktaeder
    4/3 4 ǀ 3
    (4.6.4/3.6)
    (p/q = 4, r = 3)
    Small dodecahemidodecahedron.png
    mali dodekahemidodekaeder
    5/4 5 ǀ 5
    (5.10.5/4.10)
    (p/q = 5, r = 5)
    Great dodecahemidodecahedron.png
    veliki dodecahemidodecahedron
    5/3 5/2 ǀ 5/3
    (5/2.10/3.5/3.10/3)
    (p/q = 5/2, r = 5/3)
    Great dodecahemicosahedron.png
    veliki dodekahemiikozaeder
    5/4 5 ǀ 3
    (5.6.5/4.6)
    (p/q = 5, r = 3)

    Orientabilnost

    Samo oktahemioktaeder predstavlja orientabilno ploskev. Vsi ostali polpoliedri so neorientabilni ali ploskve s samo eno stranjo.

    Dualna telesa polpoliedrov

    Ker imajo polpoliedri stranske ploskve, ki potekajo skozi središče, imajo pripadajoče dualne oblike oglišča v neskončnosti ali na realni projektivni ravnini v neskončnosti [2]. V knjigi Magnus Wenninger (rojen 1919) dualni modeli so prikazani kot sekajoče se prizme, ki so podaljšane v obeh smereh za isto sliko oglišč do neskončnosti, da bi se obdržala simetrija. V resnici se modeli prizem odrežejo v določeni točki, kar je ugodno za izdelovalce. Wenninger predlaga, da so te oblike nov razred stelacije, ki jo imenujemo stelacija v neskončnosti. Predlagal je tudi, da ta vrsta konstrukcije ne potrjuje običajnih definicij.

    Obstoja devet takšnih dualov:

    Tetrahemihexacron.png Hexahemioctacron.png Small dodecahemidodecacron.png Great dodecahemidodecacron.png Small dodecahemicosacron.png
    tetrahemiheksakron
    oktahemioktakron
    in heksahemioktakron
    veliki dodekahemidodekakron
    in veliki ikozihemidodekakron
    3 sekajoče se neskončne štiristrane prizme 4 sekajoče se neskončne šeststrane prizme 6 sekajoče se neskončne desetstrane prizme 6 sekajočih se neskončnih desetstranih prizem 10 sekajočih se neskončnih šeststranih prizem

    Odnosi s kvazipravilnimi poliedri

    Polpoliedri se pojavljajo v parih kot facetiranje kvazipravilnih poliedrov s štirimi stranskimi ploskvami na oglišču. Ti kvazipravilni poliedri imajo sliko oglišč m.n.m.n. Njihovi robovi tvorijo tudi n-kotne in m-kotne stranske ploskve, ki tvorijo polstranske ploskve polpoliedra. Tako se lahko polpolieder dobi iz kvazipravilnih poliedrov tako, da se zavrže m- in n-kotnike in se potem vpelje polstranske ploskve. Ker se je zavrglo m- in n-kotnike, se lahko vsakega od dveh polpoliedrov dobi iz kvazipravilnega poliedra. Tega pa se ne da narediti za oktaeder in tetraeder, kjer velja m = n = 3 in sta facetiranji skladni. Ta vrsta konstrukcije ne deluje za kvazipranevilne poliedre s šestimi stranskimi ploskvami na oglišču ker njihovi robovi ne tvorijo nobene pravilne polstranske ploskve. [1]

    Ker imajo polpoliedri tako kot kvazipravilni poliedri, ki imajo dve vrsti stranskih ploskev, ki se izmenoma pojavljajo okrog vsakega oglišča, se jih obravnava tudi kot kvazipravilne.[1]

    Kvazipravilni poliedri
    m.n.m.n
    polstranske ploskve
    (h-kotniki)
    polpoliedri z m-kotniki uprabljeni z
    m.h.m/m - 1.h
    polpolieder z n-kotniki uporabljen z
    n.h.n/n - 1.h
    Uniform polyhedron-33-t1.png
    tetratetraeder
    3.3.3.3
    m = 3, n = 3
    Octahedron equator.png
    kvadrati
    {4}
     
    Tetrahemihexahedron.png
    tetrahemiheksaeder
    3.4.3/2.4
     
    Tetrahemihexahedron.png
    tetrahemiheksaeder
    3.4.3/2.4
     
    Cuboctahedron.png
    kubooktaeder
    3.4.3.4
    m = 3, n = 4
    Cuboctahedron equator.png
    šestkotniki
    {6}
     
    Cubohemioctahedron.png
    kubohemioktaeder
    4.6.4/3.6
     
    Octahemioctahedron.png
    oktahemioktaeder
    3.6.3/2.6
     
    Icosidodecahedron.png
    ikozidodekaeder
    3.5.3.5
    m = 3, n = 5
    Icosidodecahedron equator.png
    desetkotniki
    {10}
     
    Small dodecahemidodecahedron.png
    mali dodekahemidodekaeder
    5.10.5/4.10
     
    Small icosihemidodecahedron.png
    mali ikozihemidodekaeder
    3.10.3/2.10
     
    Dodecadodecahedron.png
    dodekadodekaeder
    5.5/2.5.5/2
    m = 5, n = 5/2
    Dodecadodecahedron equator.png
    šestkotniki
    {6}
     
    Small dodecahemicosahedron.png
    mali dodekahemikozaeder
    5/2.6.5/3.6
     
    Great dodecahemicosahedron.png
    veliki dodekahemiikozaeder
    5.6.5/4.6
     
    Great icosidodecahedron.png
    veliki ikozidodekaeder
    3.5/2.3.5/2
    m = 3, n = 5/2
    Great icosidodecahedron equator.png
    dekagrami
    {10/3}
     
    Great dodecahemidodecahedron.png
    veliki dodekahemidodekaeder
    5/2.10/3.5/3.10/3
     
    Great icosihemidodecahedron.png
    veliki ikozihemidodekaeder
    3.10/3.3/2.10/3
     

    Tukaj m in n odgovarjata zgornjemu p/q in h pomeni 2r (glej zgoraj).

    Sklici

    1. 1,0 1,1 1,2 Hart, George (1996). "Quasiregular Polyhedra". Virtual Polyhedra: The Encyclopedia of Polyhedra. Pridobljeno dne 6. maj 2012.
    2. (Wenninger 2003, str. 101)