Išči

    Pravilni polieder

    Kocka, najbolj poznan pravilni polieder.

    Pravilni poliedri so poliedri, ki imajo skladna vsa oglišča, stranice in stranske ploskve. Definicij za pravilne poliedre je več, najstrožje dovoljujejo le 5 pravilnih poliedrov (Platonska telesa), medtem ko najbolj obširne dovoljujejo neskončno mnogo pravilnih poliedrov. Dandanes je najbolj popularna definicija, ki dovoljuje 9 pravilnih poliedrov, ter številne razširjene definicije, najbolj popularna dovoljuje 48 pravilnih poliedrov. Prve omembe poliedrov segajo že v 4. stoletje pred našim štetjem, ko je Platon opisal Platonska telesa. Kasneje je še Johannes Kepler odkril 2, katerima je nato v 19. stoletju našel duale Louis Pointsot. V dvajsetem stoletju so nato začeli iskati različne neskončne poliedre, katerih običajno ne vključimo v navadno definicijo pravilnih poliedrov.

    Petrialni poliedri zaključenih pravilnih poliedrov so prav tako zaključeni, vendar običajno niso vključeni v strožje definicije, saj njihove stranske ploskve niso vključene v strožjo definicijo pravilnih mnogokotnikov. Ti imajo namreč stranske ploskve razporejene po tridimenzionalnem prostoru, temu rečemo, da so izkrivljene. Ti mnogokotniki imajo še vedno enako dolge stranice, vendar te ležijo na različnih ravninah.

    Neskončni pravilni poliedri (pravilni apeiroedri) so različna tlakovanja. Najbolj poznana so planarna tlakovanja, obstaja pa tudi nekaj pravilnih neplanarnih apeiroedrov, tako imenovani “blended” (mešani) apeiroedri. Ti zaradi nezaključnosti prav tako niso vključeni v strožje definicije pravilnih poliedrov.

    Pravilni poliedri do sedaj so vsi ”pravilni” v trorazsežnem evklidskem prostoru, poznamo pa tudi neskončno mnogo pravilnih poliedrov v sferičnem in hiperboličnem prostoru. Obstajajo tudi abstraktni poliedri, to so trorazsežna telesa, ki so pravilna le v več kot trirazsežnem prostoru.

    Poliedre največkrat delimo po odkriteljih (Platonska telesa, Keplerjeva telesa …), obstajajo pa tudi druge delitve.

    Vsebina

    Definicije

    Obstaja veliko različnih definicij, ki dovoljujejo različno število pravilnih poliedrov. Vse definicije imajo naslednje omejitve:

    Petrie-Coxeterjeva definicija

    Prva definicija Petrieja in Coxeterja je dovoljevala vse pravilne poliedre, ki so v 3D evklidskem prostoru s tem omejila pravilne poliedre na 48 različnih. S to definicijo jima je uspelo najti šest novih pravilnih poliedrov, ki predstavljajo osnovo za kasneje odkritih šest, ki tudi spadajo v definicijo. Ta definicija še vedno dovoljuje neskončno velike pravilne poliedre, ki jih nadaljne definicije ne dovoljujejo več.[1]

    Definicija, ki omejuje zaključenost pravilnega poliedra

    Ta definicija za razliko od Petrie-Coxeterjeve definicije dovoljuje pravilne poliedre izven evklidskega prostora, vendar morajo biti poliedri zaključeni. Ta definicija ne dovoljuje tlakovanj, vendar dovoljuje še vedno neskončno mnogo pravilnih poliedrov. Definicija nima pravega imena in se bolj redko uporablja.

    Standardna definicija

    To je največkrat uporabljena definicija in se običajno uporablja pri opisovanju pravilnih poliedrov. Definicija dovoljuje le zaključene pravilne poliedre znotraj 3D evklidskega prostora ter tako omejuje število na 9 pravilnih poliedrov, na platonska ter Kepler-Pointsotova telesa.

    Schläflijeva definicija

    Ludwig Schläflij je zagovarjal, da morajo imeti vsi pravilni poliedri Eulerjevo karakteristiko 2, to pa imajo le platonska ter veliki zvezdni dodekaeder in veliki ikozaeder. Čeprav on sam ni štel niti Keplerjevih teles pod pravilne poliedre, so ti dovoljeni v tej definiciji.

    Osnovnošolska definicija

    To definicijo se zaradi omejitve teles le na najpreprostejša pogosto uporablja v osnovnih šolah, vsekakor pa se ne pojavlja le tam. Definicija zahteva, da so pravilni poliedri zaključeni, so v evklidskem 3D prostoru ter so konveksni. S tem smo omejili pravilne poliedre le na 5 platonskih teles. Ta definicija se pogosto uporablja tudi med ljudmi, ki nimajo poglobljenega znanja v matematiki. Definicijo so uporabljali tudi stari Grki, saj še niso poznali drugih pravilnih poliedrov.

    Označevanje

    Glavni članek: Schläflijev simbol

    Za pravilne politope se najpogosteje uporablja označevanje s Schläflijevim simbolom. V treh dimenzijah mora imeti dve števili, ki se na splošno označita s p in q, torej Schläflijev simbol za nek polieder je {p, q}. V simbolu p predstavlja kateri mnogokotnik sestavlja pravilni polieder – polieder je torej iz p-kotnikov. Število q pa predstavlja koliko stranskih ploskev se stika v enem oglišču. Simbol {4, 3} torej pomeni, da je polieder sestavljen iz pravilnih štirikotnikov (kvadratov) in da se v vsakem oglišču stikajo trije kvadrati. Vendar se označevanje že pri standardni definiciji mora spremeniti, saj drugače bi prišlo do različnih poliedrov označenih enako. Problem predstavlja pentagram, saj je kot konveksni petkotnik, prav tako petkotnik. Za pentagram in dekagram se zato uporablja oznaka {p, q/n}, kjer n predstvlja stopnjo stelacije. Nekateri petriali imajo prav tako enak Schläflijev simbol kot nekatera druga telesa, zato se pri njih poleg osnovnega simbola na koncu napiše še število mnogokotnika, ki je stranska ploskev petrialnega para, npr. Schläflijev simbol za petrialno kocko je {6, 3}4. To pomeni, da ima petrialna kocka za stranske ploskve šestkotnike in da se po trije stikajo na enem oglišču. Če bi zapisali samo {6, 3}, petrialne kocke ne bi bilo mogoče razločiti od šestkotnega tlakovanja, zato na koncu podpišemo še 4, saj ima petrialni par (navadna kocka) za osnovno ploskev pravilne štirikotnike (kvadrate). Pri petrialih se uporablja tudi zapis s simbolom petrialnega para in na koncu nadčrtamo π, npr. {4, 3}π. Pri Petrie-Coxeterjevih poliedrih je potrebno tudi napisati obliko lukenj, ki nastopajo med stranskimi ploskvami. Splošen simbol je {p1, q|p2}. Število p1 predstavlja p-kotnik stranske ploskve, p2 pa p-kotnik luknje med stranskimi ploskvami. Naslednja posebnost je pri “blended” apeiroedrih, saj moramo nakazati ali “blendamo” s segmentom ali z apeiroedrom. Prav tako p in q nista od stranske ploskve, temveč od stranske ploskve tlakovanja iz katerega izhaja. Posebnost zase je še izkrivljeni muoktaeder, katerega zapis je {∞, 4}·,∗3, kjer∗ stoji pred številom, ki predstavlja obliko luknje ali cikcaka dualnega para. S · smo zamenjali ∞ da nakažemo, da je vrednost nedoločena. [2]

    Platonska telesa

    Glavni članek: platonsko telo.
    Igralne kocke v obliki platonskih teles

    Najbolj poznani pravilni poliedri so platonska telesa, ter so edini poliedri, ki upoštevajo vse definicije. Platonska telesa so osnova za vse zaključene poliedre v evklidskem 3D prostoru. Poznali so jih že v starih civilizacijah, prvi zapis o njih pa je nastal okoli leta 360 pred našim štetjem, ko jih je opisal Platon. Platonskih teles je pet, kot stranske ploskve pa imajo trikotnike, kvadrate ali petkotnike. Vsi so konveksni in zaključeni. Vsi imajo dualne pare (tetraeder je sam sebi dualni par) in petrialne pare. Glavne tri simetrije – tetraederska, oktaederska in ikozaederska – so poimenovane po platonskih telesih.

    Platonskim telesom se lahko določi včrtane, vmesne in očrtane sfere. Vsa telesa imajo tudi eulerjevo karkteristiko 2.

    Tetraeder Heksaeder

    (kocka)

    Oktaeder Dodekaeder Ikozaeder
    slika Tetrahedron.png Hexahedron.png Octahedron.png Dodecahedron.png Icosahedron.png
    animacija Tetrahedron.gif Hexahedron.gif Octahedron.gif Dodecahedron.gif Icosahedron.gif
    3D model Tetrahedron.stl Hexahedron.stl Octahedron.stl Dodecahedron.stl Regular icosahedron.stl
    mreža Tetrahedron flat.svg Hexahedron flat color.svg Octahedron flat.svg Dodecahedron flat.svg Icosahedron flat.svg
    Schläflijev simbol {3, 3} {4, 3} {3, 4} {5, 3} {3, 5}
    osnovna ploskev trikotnik kvadrat trikotnik petkotnik trikotnik
    št. stranskih ploskev 4 6 8 12 20
    št. oglišč 4 8 6 20 12
    št. robov 6 12 12 30 30
    simetrija tetraederska oktaederska oktaederska ikozaederska ikozaederska
    dual sam sebi oktaeder heksaeder ikozaeder dodekaeder

    Dokazovanje platonskih teles

    Da je le pet različnih platonskih teles lahko dokažemo na več načinov.

    Geometrijski dokaz

    Geometrijsko je dokazal že Evklid v svoji knjigi Elementi.

    Da telo lahko obstaja mora imeti vsaj tri stranske ploskve, ki se stikajo v enem oglišču (q ≥ 3) ter za stransko ploskev enake pravilne mnogokotnike (p ≥ 3). V vsakem oglišču telesa mora biti med sosednjimi stranskimi ploskvami vsota kotov manjša od 360°, torej mora biti notranji kot mnogokotnika manjši od 360°/3 = 120° (tri-, štiri- ali petkotnik, saj šestkotnik ima kot 120°). Razlika med 360° in vsotami kotov istega oglišča se imenuje kotni primanjkljaj.

    Pri trikotnikih imamo tri možne poliedre, saj se lahko na istem oglišču stikajo trije, štirje ali pet trikotnikov, ki tvorijo teraeder, oktaeder in ikozaeder. Šest jih že tvori kot 360° in tako tvorijo teselacijo in ne platonskega telesa. Pri kvadratih in petkotnikih je edina možnost s tremi liki na oglišče, saj štirje že tvorijo kot 360° oz. 432°. Mnogokotniki z več stranicami, kot 5 niso zmožni tvoriti platonskega telesa, saj če bi se trije stikali na istem oglišču kotnega primankljaja ne bi bilo ali bi bil kot večji od 360°.

    trije trikotniki štirje trikotniki pet trikotnikov šest trikotnikov trije kvadrati štirje kvadrati trije petkotniki trije šestkotniki
    slika Polyiamond-3-1.svg Polyiamond-4-1.svg Polyiamond-5-4.svg Polyiamond-6-11.svg TrominoV.jpg Square tiling vertfig.png Pentagon net.png Hexagonal tiling vertfig.png
    kot 180° 240° 300° 360° 270° 360° 324° 360°
    primanjkljaj 180° 120° 60° 90° 36°
    telo {3, 3}

    tetraeder

    {3, 4}

    oktaeder

    {3, 5}

    ikozaeder

    Ø {4, 3}

    heksaeder

    Ø {5, 3}

    dodekaeder

    Ø

    V bistvu lahko le iz primankljaja ugotovimo število oglišč v platonskem telesu z uporabo Descartesovega izreka:

    V enačbi V predstavlja število oglišč, q število mnogokotnikov okrog enega oglišča in α notranji kot enega mnogokotnika.

    Topološki dokaz

    Topološki izraz izhaja iz dejstva da je Eulerjeva karakteristika pri vseh platonskih telesih 2:

    Za vsa platonska telesa velja tudi naslednja enačba:

    Če enačbi združimo, dobimo naslednjo enačbo:

    To enačbo se zlahka poenostavi v naslednjo:

    Število robov (E) je lahko le pozitivno, saj ne moremo imeti negativno število robov. Iz tega lahko dobimo naslednjo neenačbo:

    Ker morata biti p in q naravni števili, večji od 3, dobimo 5 rešitev, ki se ujemajo s platonskimi telesi.

    Kepler-Poinsotovi poliedri

    Glavni članek: Kepler-Poinsotov polieder.

    Keplerjeve poliedre ter Pointsotove poliedre velikokrat združimo pod skupnim imenom Kepler-Pointsotovi poliedri, saj so dualni pari.

    Keplerjeva poliedra je okoli leta 1619 odkril Johannes Kepler. Kot osnovni ploskvi imata pentagram, torej nista konveksna. Po začetku znanstvenega klasificiranja poliedrov pa je Louis Poinsot leta 1806 odkril še njuna duala. Tudi duala nista konveksna, čeprav sta iz trikotnikov in petkotnikov – konveksnih mnogokotnikov. Značilnost Kepler-Poinsotovih poliedrov je tudi ikozaedrska simetrija. Keplerjevi telesi lahko dobimo tudi z procesom facetiranja oz. stelacije. S facetiranjem ikozaedra dobimo veliki dodekaeder, s facetiranjem malega zvezdenga dodekaedra pa veliki ikozaeder:

    Mali zvezdni dodekaeder

    (mali stelirani dodekaeder)

    Veliki dodekaeder Veliki zvezdni dodekaeder

    (veliki stelirani dodekaeder)

    Veliki ikozaeder
    slika Small stellated dodecahedron.png Great dodecahedron.png Great stellated dodecahedron.png Great icosahedron.png
    animacija SmallStellatedDodecahedron.gif GreatDodecahedron.gif GreatStellatedDodecahedron.gif GreatIcosahedron.gif
    3D model Small stellated dodecahedron.stl Great dodecahedron.stl Great stellated dodecahedron.stl Great icosahedron.stl
    mreža (osnovne ploskve

    mreže niso osnovne ploskve,

    saj v realnem svetu ne

    moremo narediti

    Kepler-Poitsotovih poliedrov

    iz njihovih osnovnih ploskev,

    saj se te med seboj sekajo)

    Small Stellated Dodecahedron Net.svg Second stellation of dodecahderon net.svg Third stellation of dodecahderon net.svg Great icosahedron net.png

    ×12

    Schläflijev simbol {5/2, 5} {5, 5/2} {5/2, 3} {3, 5/2}
    osnovna ploskev pentagram petkotnik pentagram trikotnik
    št. stranskih ploskev 12 12 12 20
    št. oglišč 12 12 20 12
    št. robov 30 30 30 30
    Eulerjeva karakteristika −6 −6 2 2
    dual veliki dodekaeder mali stelirani dodekaeder veliki ikozaeder veliki stelirani dodekaeder

    Dokazovanje Kepler-Poinsotovih teles

    Leta 1810 je matematik Augustin-Louis Cauchy dokazal, da obstajajo le štirje Kepler-Pointsotovi poliedri, vendar je njegov dokaz težko razumljiv in zapleten. Spodaj je napisan dokaz, ki ga je iznašel Joseph Bertrand.

    Za katerikoli končni set točk v prostoru obstaja konveksni polieder, ki ima oglišča na nekaterih izmed točk, ostale pa znotraj sebe (v svoji konveksni ogrinjači). V polieder lahko postavimo pravilni stelirani polieder tako, da so ogljišča enega hkrati tudi oglišča drugega. Ta sistem lahko kličemo P in lahko mu naredimo kopijo Q. Ker je stelarni polieder v P pravilni, lahko P obračamo ali zrcalimo tako, da katerokoli oglišče v od P gre na katerokoli oglišče v' od Q ter se pri tem vsa druga oglišča P ujemajo z oglišči Q. Tako mora biti P izogonalen (ogliščno prehoden) in konveksna ogrinjača uniformni polieder. To razporeditev v do v' lahko naredimo na najmanj tri načine, z ujemanjem vsake stranske ploskve, ki ima najmanj dve drugi skladni stranski ploskvi z najmanj trikratno simetrijo okrog vsakega oglišča, kar izključuje vsa telesa razen platonskih teles. Kepler-Pointsotova telesa lahko tako nastanejo le z facetiranjem platonskih teles.[3]

    Tetraeder ne more biti facetiran, saj nima diagonal. Oktaeder prav tako ne more biti facetiran, saj njegove diagonale tvorijo le tri kvadrate, pravokotne eden na drugega, ki niso zmožni tvoriti poliedra. Heksaeder (kocka) ima premalo prostorskih diagonal, da bi lahko tvorila polieder, ploskovne diagonale pa naredijo stello octangulo, ki je poliedrski sestav. Ostaneta nam tako le še dodekaeder in ikozaeder. Ikozaeder se lahko facetira na 3 različne poliedre, ki imajo za osnovno ploskev enake pravilne mnogokotnike. Novonastali polieder je lahko sestavljen iz 12 petkonikov (veliki dodekaeder), 12 pentagramov (mali stelirani dodekaeder) ali 20 trikotnikov (veliki ikozaeder). Dodekaeder se lahko facetira v heksaederske in tetraederske sestave, vendar tudi v velikega steliranega dodekaedra. Ker ni več platonskih teles tudi Kepler-Poinsotovih teles ne more biti več.[3]

    Značilnosti pravilnih poliedrov znotraj standardne definicije

    Ekvivalentnosti

    V pravilnem poliedru so vsa oglišča skladna, torej se mora na vseh ogliščih stikati enako število ploskev. Za oglišča velja tudi:

    Koncentrične sfere

    Pravilni poliedri imajo tri sfere, ki si delijo središča:

    Simetrija

    Pravilni poliedri so med poliedri najbolj simetrični. Nahajajo se v treh simetrijskih grupah, ki imajo imena po platonskih telesih:

    Eulerjeva karakteristika

    Pet platonskih teles ter veliki zvezdni dodekaeder in veliki ikozaeder imajo Eulerjevo karakteristiko (χ) enako dva, kar pomeni, da je površina poliedra topološka 2-sfera. Mali zvezdni dodekaeder in veliki dodekaeder sta, kar se tiče Eulerjeve karakteristike posebna, saj je pri njima −6. Zaradi tega ju Ludwig Schläfli ni uvrščal med pravilne poliedre.

    Notranje točke

    Vsota razdalj od poljubne točke znotraj pravilnega poliedra do stranic je neodvisna od lege točke (to je razširitev Vivianovega izreka). Obratno ne velja celo za tetraedre.[4]

    Razmerja med pravilnimi poliedri

    Znotraj standardne definicije pravilnih polierov le tetraeder ni v razmerju z nobenim drugim pravilnim poliedrom, vendar pri razširjenih definicijah dobi svoj petrialni par. Heksaeder je v razmerju le z oktaedrom, ostalih šest teles pa je v razmerju med sabo. Razmerje med poliedri lahko obstaja le med poliedri z enako vrsto simetrije. Poznamo šest osnovnih razmerij med pravilnimi poliedri, od tega se pojavljata dva med platonskimi in Kepler-Ponsotovimi poliedri. Osnovna razmerja lahko poljubno združujemo skupaj, vendar ni nujno, da ima vsak polieder to razmerje s katerim drugim pravilnim poliedrom.

    Dual

    Glavni članek: Dualni polieder
    Heksaeder in oktaeder sta dualna para
    Prikaz prisekanja malega zvezdnega dodekaedra

    Dual nekega poliedra je tisto telo, ki nastane s prisekavanjem – če poliedru odrežemo oglišča na tak način, da so nastali mnogokotniki skladni in pravilni, ter da od vsake dosedanje stranske ploskve ostane le sredinska točka – tam, kjer je nastalo novo oglišče. Dualni razmerje se označi z grško črko δ[2]. Da sta dve telesi dualni par se zlahka vidi iz Schläflijevega simbola, saj sta p in q vrdnosti zamenjani, npr. {4, 3} je dualni par od {3, 4}

    Dualni pari znotraj standardne definicije:

    Stelirani/facetirani par

    Par nastane s stelacijo ali fecetacijo nekega poliedra. Označi se s grško črko φ, zraven pa je podana še stopnja stelacije, npr. φ2, če je stopnja stelacije 2[2].

    Stelirani/facetirani pari znotraj standardne definicije:

    Razmerja med poliedri zunaj standardne definicije

    Teh razmerij ne najdemo med platonskimi in Kepler-Ponsotovimi poliedri, ampak med bolj kompleksnimi poliedri.

    Pravilni poliedri zunaj standardne definicije

    Petriali pravilnih poliedrov znotraj standardne definicije

    Petrial poliedra je polieder, ki ima s svojim petrialnim parom skladna oglišča in robove, vendar ne stranskih ploskev. To lahko storimo le, če je osnovna ploskev enega izmed njih izkrivljena v tretjo dimenzijo. Osnovno ploskev petriala dobimo, če začnemo v nekem oglišču, nato pa izmenično levo-desno sledimo stranicam dokler ne pridemo do izhodiščnega oglišča. Dobimo sklenjen cikcak. Če cikcak pogledamo pod pravim kotom izgleda kot pravilni mnogokotnik z oglišči na isti ravnini. Tako poimenujemo cikcake po pravilnih mnogokotnikih, vendar ker imajo oglišča razporejena po 3D prostoru se imenujejo izkrivljeni pravilni mnogokotniki. Petriale z izkrivljenimi stranskimi ploskvami se označi kot {p, q}n, kjer n označuje število p petrialnega para. Ta zapis je obvezen le za petrialni tetraeder, heksaeder in oktaeder.

    Petrialni

    tetraeder

    Petrialni

    heksaeder

    Petrialni

    oktaeder

    Petrialni

    dodekaeder

    Petrialni

    ikozaeder

    Petrialni mali

    zvezdni dodekaeder

    Petrialni

    veliki dodekaeder

    Petrialni veliki

    zvezdni dodekaeder

    Petrialni

    veliki ikozaeder

    slika Tetrahedron 3 petrie polygons.png Cube 4 petrie polygons.png Octahedron 4 petrie polygons.png Petrial dodecahedron.png Petrial icosahedron.png Petrial small stellated dodecahedron.png Petrial great dodecahedron.png Petrial great stellated dodecahedron.png Petrial great icosahedron.png
    animacija Petrial tetrahedron.gif Petrial cube.gif Petrial octahedron.gif Petrial dodecahedron.gif Petrial icosahedron.gif Petrial small stellated dodecahedron.gif Petrial great dodecahedron.gif Petrial great stellated dodecahedron.gif Petrial great icosahedron.gif
    animacija

    osnovne ploskve

    Face of petrial tetrahedron.gif Face of petrial cube.gif Face of petrial octahedron.gif Face of petrial dodecahedron.gif Face of petrial icosahedron.gif Face of petrial small stellated dodecahedron.gif Face of petrial great dodecahedron.gif Face of petrial great stellated dodecahedron.gif Face of petrial great icosahedron.gif
    osnovna ploskev izkrivljen kvadrat izkrivljen šestkotnik izkrivljen desetkotnik izkrivljen šestkotnik izkrivljen dekagram
    Schläflijev simbol {4, 3}3 {6, 3}4 {6, 4}3 {10, 3} {10, 5} {6, 5/2} {6, 5} {10/3, 5/2} {10/3, 3}
    št. stranskih ploskev 3 4 4 6 6 10 10 6 6
    št. oglišč 4 8 6 20 12 12 12 12 20
    št. robov 6 12 12 30 30 30 30 30 30
    Eulerjeva karakteristika 1 0 −2 −4 −12 −8 −8 −12 −4

    Dokazovanje petrialov

    Najprej bomo dokazali, da obstaja 18 pravilnih zaključenih poliedrov v . Ker so pravilni zaključeni poliedri tudi platonska telesa ter Kepler-Poinsotova telesa tako lahko obstaja 9 petrialov.

    Naj bo pravilni polieder v in naj bo njegova simetrijska grupa. Lahko rečemo, da je ortogonalna grupa, tako, da ima center . Prva stvar, ki jo lahko opazimo je, da morata biti in ravnini. Najlažji način, kako to lahko opazimo je, da za prvotno oglišče od velja . Tako mora vsebovati premico, vendar morata biti in različna in nekomutativna. je tako lahko premica ali ravnina. Ne more biti le set točke {}, ki bi bila edina druga vrsta involucije v ortogonalni grupi v , saj bi bil tako centralen in bi bil komutativen z .

    Če je premica, jo nadomestimo z ortogonalno ravnino . Kot ortogonalna simetrija, , tj. produkt s centralnim zrcaljenjem. je tako še vedno komutatvna z , vendar ne z . Če je ravnina, določimo, da je . Nato določimo za . Zatem definiramo . Tako je končna zrcalna grupa v , ki je tudi simetrijska grupa devetih klasičnih pravilnih ploedrov . V vsaki grupi poliedra lahko zamenjamo z ter tako dobimo novo končno ortogonalno grupo v , nastalo z involucijami. To doda na seznam še devet pravilnih poliedrov, torej vse skupaj 18.[2]

    Pravilni apeiroedri

    Pravilne apeiroedre šteje pod pravilne poliedre le Petrie-Coxeterjeva definicija. Pravilne apeiroedre delimo v dve veliki skupini – apeiroedri se namreč lahko širijo v neskončnost v dveh dimenzijah (teselacije) ali v treh (čisti pravilni apeiroedri in pravilni poševni apeiroedri (Petrie-Coxeterjevi apeiroedri). Čeprav se “blendane” teselacije z apeiroedrom širijo v tri dimenzije, jih še vedno uvrščamo v prvo skupino, saj izhajajo iz planarnih teselacij.

    Pravilne teselacije

    Poznamo šest planarnih teselacij (trikotno, kvadratno in šestkotno ter njihove petriale). Vsaka od njih je del svoje “blended” trojice, saj lahko vsako od njih “blendamo” na dva različna načina in tako dobimo še dve različni pravilni teselaciji. Tako poznamo 18 teselacij. “Blendanih” teselacij ne zapisujemo s Schläflijevim simbolom, ki bi nam povedal p-kotnik, ki je stranska ploskev in število mnogokotnikov, ki se v enem oglišču stika, ampak z Schläflijevim simbolom planarnega apeiroedra, iz katerega izhaja ter posebno končnico. Za “blendane” s segmentom je # {}, za “blendane” z apeiroedrom pa # {∞}, saj se širijo v neskončnost tudi po tretji dimenziji. “Blended” trojica je torej {4, 4}; {4, 4} # {} in {4, 4} # {∞}.[2]

    Planarne teselacije

    Osnovne tri planarne teselacije (tlakovanja) so trikotniška, kvadratna in šestkotna. Da je teselacija planarna, pomeni, da ima vsa oglišča na isti ravnini. teselacije se širijo po ravnini v neskončnost, torej imajo neskončno število stranskih ploskev, oglišč in robov. Vse imajo svoje petrialne pare:

    Trikotno tlakovanje Kvadratno tlakovanje Šestkotno tlakovanje Petrialno

    trikotno tlakovanje

    Petrialno

    kvadratno tlakovanje

    Petrialno

    šestkotno tlakovanje

    slika Tiling Regular 3-6 Triangular.svg Tiling Regular 4-4 Square.svg Tiling Regular 6-3 Hexagonal.svg Petrial triangular tiling.png Petrial square tiling.png Petrial hexagonal tiling.png
    Schläflijev simbol {3, 6} {4, 4} {6, 3} {∞, 6}3 {∞, 4}4 {∞, 3}6
    osnovna ploskev trikotnik kvadrat šestkotnik nesklenjen cikcak (60°) nesklenjen cikcak (90°) nesklenjen cikcak (120°)
    simetrija šestkratna rotacijska štirikratna rotacijska trikratna rotacijska šestkratna rotacijska štirikratna rotacijska trikratna rotacijska
    dual šestkotno tlakovanje sam sebi trikotno tlakovanje /
    Dokazovanje planarnih teselacij

    Podobno kot pri platonskih telesih lahko tudi tukaj dokažemo z geometrijskim ali topološkim dokazom. Pri geometrijskem dokazu sedaj ne sme biti kotnega primankljaja, vsota kotov mora biti točno 360°. Enako kot pri platonskih telesih morata tudi tukaj biti p in q ≥ 3, torej mora biti notranji kot mnogokotnika manjši ali enak 360°/3 = 120°. Tako se lahko omejimo le na tri-, štiri-, pet- in šestkotnike.

    šest trikotnikov štirje kavdrati trije petkotniki trije petkotniki
    slika Polyiamond-6-11.svg Square tiling vertfig.png Pentagon net.png Hexagonal tiling vertfig.png
    kot 360° 360° 324° 360°
    primanjkljaj 36°
    teselacija {3, 6}

    trikotna teselacija

    {4, 4}

    kvadratna teselacija

    Ø {6, 3}

    šestkotna teselacija

    Topološki dokaz je povsem enak tistemu za dokazovanje platonskih teles, le da mora sedaj veljati .

    Geometrijski in topološki dokaz sta lahka za razumevanje, vendar ne dokažeta petrialov. Za dokaz da obstaja le šest planarnih teselacij moramo uporabiti splošni dokaz za dokazovanje pravilnih teselacij.

    “Blended” teselacije

    “Blended“ teselacije delimo na dve vrsti: “blended” teselacije s segmentom in “blended” teselacija z apeiroedrom.

    “Blended” teselacije s segmentom nastanejo, ko oglišča periodnično premaknemo izven ravnine in puščamo v ravnini. Tako dobimo teselacijo, ki ima za stranske ploskve iz izkrivljenih mnogokotnikov (razen trikotniška teselacija, pri njej moramo vsako oglišče kopirati ter le enega premakniti – tako se trikotniki spremenijo v izkrivljene heksagrame).

    Trikoten “blended“

    s segmentom apeiroeder

    Kvadraten “blended“

    s segmentom apeiroeder

    Šestkoten “blended“

    s segmentom apeiroeder

    Petrialni trikoten “blended“

    s segmentom apeiroeder

    Petrialni kvadraten “blended“

    s segmentom apeiroeder

    Petrialni šestkoten “blended“

    s segmentom apeiroeder

    Schläflijev simbol {3, 6} # {} {4, 4} # {} {6, 3} # {} {∞, 6}3 # {} {∞, 4}4 # {} {∞, 3}6 # {}
    osnovna ploskev izkrivljen trikotnik izkrivljen kvadrat izkrivljen šestkotnik nesklenjeni cikcaki
    simetrija šestkratna rotacijska štirikratna rotacijska trikratna rotacijska šestkratna rotacijska štirikratna rotacijska trikratna rotacijska
    dual šestkotno “blended“

    s segmentom tlakovanje

    sam sebi trikotno “blended“

    s segmentom tlakovanje

    /
    Vijačnica, ki nadomešča nekdanji kvadrat v kvadratnem tlakovanju izgleda ob pogledu vzporedno na ravnino kot kvadrat (levo), vendar se neskončno širi pravokotno na nekdanjo ravnino (desno)

    Pri “blended” teselacijah z apeiroedrom nadomestimo stranske ploskve planarnih teselacij zamenjamo z linearnim apeiroedrom z enako simetrijo kot mnogokotnik, ki ga nadomešča (notranji kot mnogokotnika mora biti enak kotu, ki je vzporeden z ravnino nekdanjega planarnega poliedra v vijačnici). Tako nastane osnovna ploskev vijačnica in pri petrialih cikcak. Vijačnicam moramo periodično izmenjevati orientacijo, da imajo lahko skupna oglišča. Vijačnici se lahko določi kot, ki je vzporeden na ravnino (60°, 90° in 120°, saj morajo imeti enako simetrijo kot mnogokotniki, katere nadomeščajo).

    Trikoten “blended“

    z apeiroedrom apeiroeder

    Kvadraten “blended“

    z apeiroedrom apeiroeder

    Šestkoten “blended“

    z apeiroedrom apeiroeder

    Petrialni trikoten “blended“ z

    apeiroedrom apeiroeder

    Petrialni kvadraten “blended“ z

    apeiroedrom apeiroeder

    Petrialni šestkoten “blended“

    z apeiroedrom apeiroeder

    Schläflijev simbol {3, 6} # {∞} {4, 4} # {∞} {6, 3} # {∞} {∞, 6}3 # {∞} {∞, 4}4 # {∞} {∞, 3}6 # {∞}
    osnovna ploskev nesklenjeni cikcaki
    simetrija šestkratna rotacijska štirikratna rotacijska trikratna rotacijska šestkratna rotacijska štirikratna rotacijska trikratna rotacijska
    dual šestkoten “blended“

    z apeiroedrom apeiroeder

    sam sebi trikoten “blended“

    z apeiroedrom apeiroeder

    /
    Nepopolne planarne teselacije

    Poznamo tudi dve nepopolni planarni teselaciji, to sta {∞, 2} in njen dual, {2, ∞}. Prvi je apeirogonalni dieder iz dveh apeirogonov, vsak pokriva polovico ravnine. Njegov dual, apeirogonalni hozoeder, izgleda kot neskončno zaporedje paralelnih premic. Oba imata dvakratno rotacijsko simetrijo.

    Apeirogonalni

    dieder

    Apeirogonalni

    hozoeder

    slika Apeirogonal tiling.png Apeirogonal hosohedron.png
    Schläflijev simbol {∞, 2} {2, ∞}
    Dokazovanje pravilnih teselacij

    Z naslednjim dokazom lahko dokažemo, da obstaja le 18 različnih pravilnih teselacij:[2]

    Naj bo planarni apeirogon s simetrijsko grupo . Za začetno oglišče velja ter in sta nekomutativni involuciji v . Tako morata biti in sekajoči se premici. Sedaj moramo ugotoviti kote, ki so lahko med njima.

    Naj bo samostojna neskončna grupa izometrij, ki se disperzirajo na ali , . naj bo podgrupa celotne grupe izometrij v , . Tako ne more imeti netrivialnih nespremenljivih podprostorov. Bieberbachov teorem nam pove, da vsebuje polno podgrupo grupe premikov v , in da je končen; se lahko predstavlja kot mrežo -tega ranka v . Če je glavni element , z (ortogonalni grupi) in premični vektor , potem preslikave tvorijo podrugrupo G0 od On, ki se imenuje posebna grupa od . Tako je slika pod homomorfizmom na In, katerega kernel je : . Lahko predvidevamo, da vsebuje centralno inverzijo – če je nima, jo dodamo. Predvidevajmo sedaj, da je in da vsebuje rotacijo s periodo ; potem vsebuje tako rotacijo skozi kot . Začnimo s primerom . Ker je , lahko predvidevamo, da je sod. Med premiki je minimalna razdalja . Če ima , potem je razdalja med in , kar je protislovje. Za navadnega prostora dokažemo podobno, le da upoštevamo najkrajšo razdaljo med paralelnimi osmi k-kratne simetrije. Če upoštevamo samostojne pravilne politope višjega ranka v vidimo, da so tri pravilne teselacije planarne, prav tako kot njihovi petriali. Vidimo lahko tudi 12 različnih trodimenzionalnih pravilnih poliedrov.

    Iz nastalih apeiroedrov je razvidno, da so edini možni koti med in 30°, 60° in 45°. je lahko premica ali točka. V prvem primeru mora biti [4, 4] ali [3, 6], ki nam da tri klasične planarne teselacije. V drugem primeru je komutativna z , torej mora ležati v ter tako dobimo še tri petriale.

    Na enak način se lahko tudi dokaže, da obstaja 12 “blended” apeiroedrov.

    Pravilni poševni apeiroedri (Petrie-Coxeterjevi apeiroedri in čisti poševni apeiroedri)

    Odnosi med pravilnimi poševnimi apeiroedri.

    Harold Scott MacDonald Coxeter je trdil, da definicija, ki jo je podal John Flinders Petrie (sedaj znana kot Petrie-Coxeterjeva definicija) dovoljuje tudi končne pravilne poševne poliedre v štirih dimenzijah ter pravilne poševne apeiroedre v treh dimenzijah (opisani tukaj). Coxeterju je uspelo najti tri izmed šestih apeiroedrov, ki jih sedaj imenujemo Petrie-Coxeterjevi apeiroedri. Iz njih se lahko dobi tudi šest drugačnih apeiroedrov, katere imenujemo čisti poševni apeiroedri.

    Coxeter je ponudil Schläflijeve simbole v obliki {p, q|n}, kjer n označuje n-kotne luknje, ki se pojavljajo med stranskimi ploskvami.

    Petrie-Coxeterjevi apeiroedri
    Mukocka Muoktaeder Mutetraeder Petrialna

    mukocka

    Petrialni

    muoktaeder

    Petrialni

    mutetraeder

    slika (narisan le

    en del apeiroedra)

    Six-square skew polyhedron.png Four-hexagon skew polyhedron.png Six-hexagon skew polyhedron.png
    animacija (le en

    del apeiroedra)

    Petrie-1.gif Petrie-2.gif Petrie-3.gif
    slika oglišč Runcinated cubic honeycomb verf.png Bitruncated cubic honeycomb verf2.png T01 quarter cubic honeycomb verf.png
    Schläflijev simbol {4, 6|4} {6, 4|4} {6, 6|3} {∞, 6}4,4 {∞, 4}6,4 {∞,6}6,3
    osnovna ploskev kvadrat šestkotnik šestkotnik nesklenjeni cikcaki
    oblika lukenj kvadrat kvadrat trikotnik /
    simetrija razširjena kiralna
    dual muoktaeder mukocka mutetraeder /

    Branko Grünbaum in Andreas Dress sta nato še iz preoblikovanja Petrie-Coxeterjevih apeiroedrov dobila 6 novih apeiroedrov, ki jih sedaj imenujemo čisti poševni apeiroedri.

    Čisti pravilni apeiroedri
    Razpolovljena

    mukocka

    Petrialna

    rapolovljena

    mukocka

    Izkrivljen

    petrialni

    mutetraeder

    Izkrivljen

    muoktaeder

    Facetirana

    razpolovljena

    mukocka

    Petrialna

    facetirana

    razpolovljena

    mukocka

    Schläflijev simbol {6, 6}4 {4, 6}6 {6, 4}6 {∞, 4}·,∗3 {∞, 3}(a) {∞, 3}(b)
    osnovna ploskev izkrivljen šestkotnik izkrivljen kvadrat izkrivljen šestkotnik cikcaki
    simetrija razširjena kiralna
    dual / izkrivljen

    petrialni

    mutetraeder

    petrialna

    rapolovljena

    mukocka

    /

    Razmerja med pravilnimi poševnimi ploiedri so naslednja[2]:

    Razpolovljena

    mukocka

    Petrialna

    rapolovljena

    mukocka

    Dual petrialne

    razpolovljene

    mukocke

    Izkrivljen

    muoktaeder

    Facetirana

    razpolovljena

    mukocka

    Petrialna

    facetirana

    razpolovljena

    mukocka

    z mukocko

    z muoktaedrom

    z mutetraedrom

    Pri razmerjih v zgornji tabeli −1 pomeni, da je obratno razmerje (le pri tistih, kjer je obratno razmerje drugačno):

    Dokazovanje pravilnih poševnih apeiroedrov

    Z naslednjim dokazom lahko dokažemo, da obstaja le 12 pravilnih poševnih apeiroedrov[2]:

    Naj bo čisti tridimenzionalni apeiroeder v (teoretično so tudi Petrie-Coxeterjevi apeiroedri čisti, saj ni nobene razlike, ki bi jih naredila manj “čiste”), s simetrijsko grupo . Tako so , in involucijske izometrije tako, da sta in komutativni, pa ni komutativna z niti z niti z .

    Najprej moramo dokazati, da mora biti vsaka izmed , in premica ali ravnina, z drugimi besedami, izključimo lahko zrcaljenje čez točko. Naj bo izhodiščno oglišče -ja . Potem dobimo , torej ne sme biti presek prazen ter mora biti znotraj in , zato je dimenzija za . Za te vrednosti zapišemo ali , saj je ortogonalni komplement in za ravnino skozi , ki je pravokotna na in . Tako . Če bi bila , bi bil reducibilen, saj bi vsaka permutirala ravnine, pravokotne na , kar je v protislovju s predvidevanjem, da je čisti. Dobili bi , saj sta simetriji komutativni. Tako je tudi dimenzija .

    Sedaj moramo izključiti možnost, da je dimenzija za . V takem primeru bi obe ravnini šli skozi ter se sekali pod nekim ostrim kotom. je tako premica ali ravnina, katere zrcaljenje je komutativno z , vendar ne z . Če je ravnina bi zaradi ireducibilnosti sledilo, da , torej bi bila samostojna ortogonalna grupa in zato končna. Če je premica imamo dve možnosti. lahko leži v , kar bi spet povzročilo ter bi tako bila končna. Druga možnost je, da je pravokotna na . To naredi grupo reducibilno, kar ni dovoljeno.

    Izključiti moramo še možnost, da bi lahko bila dimenzija in . Če bi to bilo možno, bi bila pravokotna na (ker je možnost prepovedana). Kot v prejšnjem primeru bi to naredilo grupo reducibilno, česar ne dovoljujemo.

    Tako lahko dimenzijski vektor (dimenzija , dimenzija , dimenzija ) za zrcala lahko le štirih vrednosti: (2, 1, 2), (1, 1, 2), (1, 2, 1) in (1, 1, 1).

    Določili smo že planarno zrcaljenje in . Sedaj moramo definirati še tretje zrcaljenje, , katere zrcalo je prav tako ravnina. Naj bo premamknjena , ki vsebuje izhodišče in nato nastavimo ali , saj je premica ali ravnina. Naj bo nato , ki je posebna grupa od in . Potem je končna ireducibilna zrcalna grupa, poimensko, ena izmed [3, 3], [3, 4] ali [3, 5] in je ali ena izmed naštetih zrcalnih grup ali njihova rotacijska podgrupa (to se lahko zgodi le, ko je dimenzija za vsak . Ker mora biti samostojen, ne more biti [3, 5] ali njegova rotacijska subgrupa, saj smo že pri pravilnih teselacijah izključili petkratne rotacije. mora tako biti [3, 3] ali [3, 4]. S štirimi možnostimi za vektor in tremi za gupo (lahko je tudi [4, 3]) lahko vidimo, da imamo 12 možnosti. Vseh 12 obstaja.

    Tako dobimo naslednjo tabelo:

    {3, 3} {3, 4} {4, 3}
    (2, 1, 2) {6, 6|3} {6, 4|4} {6, 4|4}
    (1, 1, 2) {∞, 6}4, 4 {∞, 4}6, 4 {∞,6}6,3
    (1, 2, 1) {6, 6}4 {6, 4}6 {4, 6}6
    (1, 1, 1) {∞, 3}(a) {∞, 4}·,∗3 {∞, 3}(b)

    Pravilne teselacije izven evklidskega prostora

    Že prej so bile omenjene pravilne teselacije evklidskega prostora, obstajajo pa tudi pravilne teselacije sferičnega prostora (povšine krogle) in hiperboličnega prostora. Obstaja neskončno različnih teselacij zunaj evklidskega prostora, saj je možna katerakoli kombinacija {p, q} za p, q >1. Poznamo še dve izjemi, to sta enostrani hozoeder {2, 1} in enostrani dieder {1, 2}. Poliedri s Schläflijevim simbolom {2, n} (hozoedri) in {n, 2} (diedri) se imenujejo nepopolni poliedri, saj obstajajo v Evklidskem prostoru šele, ko je n = ∞. Poleg nepopolnih poznamo še platonske teselacije, ki so sferične različice platonskih teles. Tako, kot platonskih teles, je tudi teh 5. Za vse sferične teselacije je značilno:

    Iz enačbe lahko tudi razberemo, zakaj nepopolni poliedri obstajajo v Evklidskem prostoru šele v neskončnosti. Za hiperbolične teselacije velja naslednja enačba:

    Vrednosti p in q so lahko tako neskončne za p in q. Hiperbolične teselacije, ki imajo končen p in q se imenujejo kompaktne, saj jih lahko nekje zaključimo, čeprav ne bi pokrivale celotne (hiperbolične) ravnine. Teselacije z neskončnim število p ali q se imenujejo parakompaktne, saj bi jih lahko nekje zaključili, vendar šele v neskončnosti. Obstaja pa še tretja možnost, ko sta p ali q enaka iπ/λ, kar je le oznaka za drugo vrsto neskončnosti, vendar se takrat stranice nikoli, niti v neskončnosti ne staknejo. Take teselacije imenujemo nekompaktne, saj jih ne moremo zaključiti.

    Sferni (nepopolni, platonski), Evklidski, hiperbolični (Poincaréjev disk projekcija: kompaktni, parakompaktni, nekompaktni)
    p \ q 0 1 2 3 4 5 6 7 8 ... ... iπ/λ
    0

    Edgeless map.png

    {0, 0}

    ravnina brez

    robov[5]

    1 Hengonal dihedron.png

    {1, 2}

    enostrani

    dieder

    2 Henagonal hosohedron.png

    {2, 1}

    enostrani

    hozoeder

    Spherical digonal hosohedron.png
    {2, 2}
    dvostrani

    hozoeder

    Spherical trigonal hosohedron.png
    {2, 3}
    trostrani

    hozoeder

    Spherical square hosohedron.png
    {2, 4}
    štiristrani

    hozoeder

    Spherical pentagonal hosohedron.png
    {2, 5}
    petstrani

    hozoeder

    Spherical hexagonal hosohedron.png
    {2, 6}
    šeststrani

    hozoeder

    Spherical heptagonal hosohedron.png
    {2, 7}
    sedemstrani

    hozoeder

    Spherical octagonal hosohedron.png
    {2, 8}
    osemstrani

    hozoeder

    E2 tiling 22i-4.png
    {2, ∞}
    apeirogonalni

    hozoeder

    H2 tiling 22i-4.png
    {2, iπ/λ}


    3 Trigonal dihedron.png
    {3, 2}
    tristrani

    dieder

    Uniform tiling 332-t0-1-.png
    {3, 3}
    tetraeder
    Uniform tiling 432-t2.png
    {3, 4}
    oktaeder
    Uniform tiling 532-t2.png
    {3, 5}
    ikozaeder
    Uniform tiling 63-t2.png
    {3, 6}
    trikotno

    tlakovanje

    Uniform tiling 37-t0.png
    {3, 7}


    Uniform tiling 38-t0.png
    {3, 8}


    H2 tiling 23i-4.png
    {3, ∞}


    H2 tiling 2312j-4.png
    {3, iπ/λ}


    4 Tetragonal dihedron.png
    {4, 2}
    štiristani

    dieder

    Uniform tiling 432-t0.png
    {4, 3}
    kocka
    Uniform tiling 44-t0.svg
    {4, 4}
    kvadratno

    tlakovanje

    Uniform tiling 45-t0.png
    {4, 5}


    Uniform tiling 46-t0.png
    {4, 6}


    Uniform tiling 47-t0.png
    {4, 7}


    Uniform tiling 48-t0.png
    {4, 8}


    H2 tiling 24i-4.png
    {4, ∞}


    H2 tiling 2412j-4.png
    {4, iπ/λ}


    5 Pentagonal dihedron.png
    {5, 2}
    petstrani

    dieder

    Uniform tiling 532-t0.png
    {5, 3}

    dodelaeder

    H2-5-4-dual.svg
    {5, 4}


    Uniform tiling 55-t0.png
    {5, 5}


    Uniform tiling 56-t0.png
    {5, 6}


    Uniform tiling 57-t0.png
    {5, 7}


    Uniform tiling 58-t0.png
    {5, 8}


    H2 tiling 25i-4.png
    {5, ∞}


    H2 tiling 2512j-4.png
    {5, iπ/λ}


    6 Hexagonal dihedron.png
    {6, 2}

    šeststrani
    dieder

    Uniform tiling 63-t0.svg
    {6, 3}

    šestkotno
    tlakovanje

    Uniform tiling 64-t0.png
    {6, 4}


    Uniform tiling 65-t0.png
    {6, 5}


    Uniform tiling 66-t2.png
    {6, 6}


    Uniform tiling 67-t0.png
    {6, 7}


    Uniform tiling 68-t0.png
    {6, 8}


    H2 tiling 26i-4.png
    {6, ∞}


    H2 tiling 2612j-4.png
    {6, iπ/λ}


    7 {7, 2}
    sedemstrani

    dieder

    Heptagonal tiling.svg
    {7, 3}


    Uniform tiling 74-t0.png
    {7, 4}


    Uniform tiling 75-t0.png
    {7, 5}


    Uniform tiling 76-t0.png
    {7, 6}


    Uniform tiling 77-t2.png
    {7, 7}


    Uniform tiling 78-t0.png
    {7, 8}


    H2 tiling 27i-4.png
    {7, ∞}


    {7, iπ/λ}


    8 {8, 2}
    osemstrani

    dieder

    H2-8-3-dual.svg
    {8, 3}


    Uniform tiling 84-t0.png
    {8, 4}


    Uniform tiling 85-t0.png
    {8, 5}


    Uniform tiling 86-t0.png
    {8, 6}


    Uniform tiling 87-t0.png
    {8, 7}


    Uniform tiling 88-t2.png
    {8, 8}


    H2 tiling 28i-4.png
    {8, ∞}


    {8, iπ/λ}


    ...
    E2 tiling 22i-1.png
    {∞,2}
    apeirogonalni

    dieder

    H2-I-3-dual.svg
    {∞,3}


    H2 tiling 24i-1.png
    {∞,4}


    H2 tiling 25i-1.png
    {∞,5}


    H2 tiling 26i-1.png
    {∞, 6}


    H2 tiling 27i-1.png
    {∞,7}


    H2 tiling 28i-1.png
    {∞,8}


    H2 tiling 2ii-1.png
    {∞,∞}


    H2 tiling 2i12j-4.png
    {∞,iπ/λ}


    ...
    iπ/λ H2 tiling 22i-1.png
    {iπ/λ,2}
    H2 tiling 2312j-1.png
    {iπ/λ,3}
    H2 tiling 2412j-1.png
    {iπ/λ,4}
    H2 tiling 2512j-1.png
    {iπ/λ,5}
    H2 tiling 2612j-1.png
    {iπ/λ,6}
    {iπ/λ,7}
    {iπ/λ,8}
    H2 tiling 2i12j-1.png
    {iπ/λ,∞}
    {iπ/λ,iπ/λ}

    Pravilne teselacije s steliranimi mnogokotniki

    Poznamo dve sferni teselaciji (mali stelirani dodekaeder in veliki dodekaeder, ostali Kepler-Poinsotovi telesi nimata ene izmed kombinacij, predstavljenih v nadaljevanju) ter nobene v Evklidskem. Čeprav je veliko kombinacij, ki ustrezajo enačbi 1/p + 1/q = 1/2, npr. {8/3, 8}, {10/3, 5} {5/2, 10}, {12/5, 12} … se nobena izmed kombinacij ne ponavlja periodično. Edini dve možnosti za pravilne teselacije so {p/2, p} in njegov dual, {p, p/2} za vsak oz. če je p liho število, večje od 5. Če je število sodo dobimo ali degenerirane dvojne ovoje ali teselacijske sestave. Možnih pravilnih teselacij je tako neskončno, vendar števila p ne smemo nadomestiti z neskončno, saj neskončnosti se ne da določiti ali je liha ali ne. Vse teselacije imajo gostoto 3.

    Sferični, hiperbolični (Poincaréjev disk projekcija)
    5 7 9 11 ...
    {p/2, p} Small stellated dodecahedron tiling.png

    {5/2, 5}

    Hyperbolic tiling 7-2 7.png

    {7/2, 7}

    Hyperbolic tiling 9-2 9.png

    {9/2, 9}

    Order-11 hendecagrammic tiling.png

    {11/2, 11}

    {p, p/2} Great dodecahedron tiling.png

    {5, 5/2}

    Hyperbolic tiling 7 7-2.png

    {7, 7/2}

    Hyperbolic tiling 9 9-2.png

    {9, 9/2}

    Hendecagrammic-order hendecagonal tiling.png

    {11, 11/2}

    Teselacije realne projektivne ravnine

    Realna projektivna ravnina () je neorientabilna ravnina, katero lahko pokrivamo s pravilnimi abstraktnimi poliedri. To lahko naredimo s projektivnimi dvojniki platonskih teles, to so polkocka, poloktaeder, poldodekaeder in polikozaeder. Tetraeder nima svojega projektivnega dvojnika, saj nima vzporednih stranskih ploskev, ki bi jih lahko združili v eno. Tako kot pri sfernem tlakovanju, lahko tudi tukaj tlakujemo celotno ravnino s končnim številom stranskih ploskev. Druga možnost je z poldiedri in polhozoedri, katerih je neskončno, saj lahko vsakemu s sodim Schläflijevim simbolom določimo projektivnega dvojnika[6]. Od sfernega tlakovanja se te teselacije razlikujejo v Eulerjevi karakteristiki, saj je tu 1 in je neorientabilna.

    Polkocka Poloktaeder Poldodekaeder Polikozaeder Polhozoeder Poldieder
    slika (narisana v evklidskem

    prostoru, zato se nekatera

    oglišča pojavljajo večkrat)

    Hemicube2.PNG Hemioctahedron.png Hemi-Dodecahedron2.PNG Hemi-icosahedron.png
    Schläflijev simbol {4, 3} {3, 4} {3, 5} {5, 3} {2, 2n} {2n, 2}
    št. stranskih ploskev 3 4 6 10 2n 2
    št. oglišč 4 3 10 6 2 2n
    št. robov 6 6 15 15 2n + 1 2n + 1
    Eulerjeva karakteristika 1 1 1 1 1 1
    dual poloktaeder polkocka polikozaeder poldodekaeder poldieder polhozoeder

    Teselacije torusa

    Teselacije torusa izhajajo iz evklidskih teselacij – trikotne, kvadratne in šestkotne, le da so na torusu končne. Tako obstaja več možnosti za število stranskih ploskev in samo orientacijo stranskih ploskev. Ker imajo vse enak Schläflijev simbol, moramo na koncu navesti še dve števili (m, n), ki označujeta število stranskih ploskev in kot.

    Kvadratne teselacije so možne za m > 0. Za vsak m je možnih m + 1 različnih teselacij. Dual teselacije je teselacija sama.[7]

    Kvadratne teselacije {4, 4}[7]
    m = 1 m = 2 m = 3
    n = 0 Square teselation on torus (1, 0).png

    {4, 4}(1, 0)

    Square tesselation on torus (2, 0).png

    {4, 4}(2, 0)

    Square tesselation on torrus (3, 0).png

    {4, 4}(3,0)

    n = 1 Square tesselation on torus (1, 1).png

    {4, 4}(1, 1)

    Square tesselation on torus (2, 1).png

    {4, 4}(2, 1)

    Square tesselation on torus (3, 1).png

    {4, 4}(3, 1)

    n = 2 Square tessellation on torus (2, 2).png

    {4, 4}(2, 2)

    Square tessellation on torus (3, 2).png

    {4, 4}(3, 2)

    n = 3 Square tessellation on torus (3, 3).png

    {4, 4}(3, 3)

    Šestkotne in trikotne teselacije so druga drugi dual. Možne so za vsak m ≥ 0, vendar za sod m je lahko n le sod in za lih m je lahko n le lih, prav tako n ne more biti manjši od m.

    Šestkotne in trikotne teselacije {6, 3} in {3, 6}[7](slika šestkotne teselacije)
    n \ m 0 1 2 3 4 5 6 7
    1 Hexagon tessellation on torus (1,1).png

    {6, 3}(1, 1)

    {3, 6}(1, 1)

    2 Hexagon tessellation on torus (0,2).png

    {6, 3}(0, 2)

    {3, 6}(0, 2)

    Hexagon tessellation on torus (2, 2).png

    {6, 3}(2, 2)

    {3, 6}(2, 2)

    3 Hexagon tessellation on torus (1, 3).png

    {6, 3}(1, 3)

    {3, 6}(1, 3)

    Hexagon tessellation on torus (3, 3).png

    {6, 3}(3, 3)

    {3, 6}(3, 3)

    4 Hexagon tessellation on torus (0,4).png

    {6, 3}(0, 4)

    {3, 6}(0, 4)

    {6, 3}(2, 4)

    {3, 6}(2, 4)

    Hexagon tessellation on torus (4, 4).png

    {6, 3}(4, 4)

    {3, 6}(4, 4)

    5 Hexagon tessellation on torus (1,5).png

    {6, 3}(1, 5)

    {3, 6}(1, 5)

    Hexagon tessellation on torus (3, 5).png

    {6, 3}(3, 5)

    {3, 6}(3, 5)

    Hexagon tessellation on torus (5, 5).png

    {6, 3}(5, 5)

    {6, 3}(5, 5)

    6 Hexagon tessellation on torus (0, 6).png

    {6, 3}(0, 6)

    {3, 6}(0, 6)

    Hexagon tessellation on torus (2, 6).png

    {6, 3}(2, 6)

    {6, 3}(2, 6)

    Hexagon tessellation on torus (4, 6).png

    {6, 3}(4, 6)

    {3, 6}(4, 6)

    Hexagon tessellation on torus (6, 6).png

    {6, 3}(6, 6)

    {3, 6}(6, 6)

    7 Hexagon tessellation on torus (1, 7).png

    {6, 3}(1, 7)

    {3, 6}(1, 7)

    Hexagon tessellation on torus (3, 7).png

    {6, 3}(3, 7)

    {3, 6}(3, 7)

    Hexagon tessellation on torus (5, 7).png

    {6, 3}(5, 7)

    {3, 6}(5, 7)

    Hexagon tessellation on torus (7, 7).png

    {6, 3}(7, 7)

    {3, 6}(7, 7)

    Število oglišč, stranskih ploskev in robov so naslednje:[7]

    (m, n) kvadratne teselacije (m, n) trikotne teselacije šestkotne teselacije
    (1, 0) V = 1

    F = 1

    E = 2

    (0, 2) V = 3

    F = 6

    E = 9

    V = 6

    F = 3

    E = 9

    (1, 1) V = 2

    F = 2

    E = 4

    (0, 4) V = 12

    F = 24

    E = 36

    V = 24

    F = 12

    E = 36

    (2, 0) V = 4

    F = 4

    E = 8

    (0, 6) V = 27

    F = 54

    E = 81

    V = 54

    F = 27

    E = 81

    (2, 1) V = 5

    F = 5

    E = 10

    (0, 8) V = 48

    F = 96

    E = 144

    V = 96

    F = 48

    E = 144

    (2, 2) V = 8

    F = 8

    E = 16

    (0, 10) V = 75

    F = 150

    E = 225

    V = 150

    F = 75

    E = 225

    (3, 0) V = 9

    F = 9

    E = 18

    (0, 12) V = 108

    F = 216

    E = 324

    V = 216

    F = 108

    E = 324

    (3, 1) V = 10

    F = 10

    E = 20

    (0, 14) V = 147

    F = 294

    E = 441

    V = 294

    F = 147

    E = 441

    (3, 2) V = 13

    F = 13

    E = 26

    (0, 16) V = 192

    F = 384

    E = 576

    V = 384

    F = 192

    E = 576

    (3, 3) V = 18

    F = 18

    E = 36

    (1, 1) V = 1

    F = 2

    E = 3

    V = 2

    F = 1

    E = 3

    (4, 0) V = 16

    F = 16

    E = 32

    (1, 3) V = 7

    F = 14

    E = 21

    V = 14

    F = 7

    E = 21

    (4, 1) V = 17

    F = 17

    E = 34

    (1, 5) V = 19

    F = 38

    E = 57

    V = 38

    F = 19

    E = 57

    (4, 2) V = 20

    F = 20

    E = 40

    (1, 7) V = 37

    F = 74

    E = 111

    V = 74

    F = 37

    E = 111

    (4, 3) V = 25

    F = 25

    E = 50

    (2, 2) V = 4

    F = 8

    E = 12

    V = 8

    F = 4

    E = 12

    (4, 4) V = 32

    F = 32

    E = 64

    (2, 4) V = 13

    F = 26

    E = 39

    V = 26

    F = 13

    E =39

    (5, 0) V = 25

    F = 25

    E = 50

    (2, 6) V = 28

    F = 56

    E = 84

    V = 56

    F = 28

    E = 84

    (5, 1) V = 26

    F = 26

    E = 52

    (2, 8) V = 49

    F = 98

    E = 147

    V = 98

    F = 49

    E = 147

    (5, 2) V = 29

    F = 29

    E = 58

    (3, 3) V = 9

    F = 18

    E = 27

    V = 18

    F = 9

    E = 27

    (5, 3) V = 34

    F = 34

    E = 68

    (3, 5) V = 21

    F = 42

    E = 63

    V = 42

    F = 21

    E = 63

    (5, 4) V = 41

    F = 41

    E = 81

    (3, 7) V = 39

    F = 78

    E = 117

    V = 78

    F = 39

    E = 117

    (5, 5) V = 50

    F = 50

    E = 100

    (4, 4) V = 16

    F = 32

    E = 48

    V = 32

    F = 16

    E = 48

    (6, 0) V = 36

    F = 36

    E = 72

    (4, 6) V = 31

    F = 62

    E = 93

    V = 62

    F = 31

    E = 93

    (6, 1) V = 37

    F = 37

    E = 74

    (5, 5) V = 25

    F = 50

    E = 75

    V = 50

    F = 25

    E = 75

    (6, 2) V = 40

    F = 40

    E = 80

    (5, 7) V = 43

    F = 86

    E = 129

    V = 86

    F = 43

    E = 129

    (6, 3) V = 45

    F = 45

    E = 90

    (6, 6) V = 72

    F = 36

    E = 108

    V = 36

    F = 72

    E = 108

    (6, 6) V = 36

    F = 36

    E = 144

    (7, 7) V = 49

    F = 98

    E = 147

    V = 98

    F = 49

    E = 147

    (7, 0) V = 49

    F = 49

    E = 98

    (8, 8) V = 48

    F = 96

    E = 144

    V = 96

    F = 48

    E = 144

    (7, 1) V = 50

    F = 50

    E = 100

    (10, 10) V = 75

    F = 150

    E = 225

    V = 150

    F = 75

    E = 225

    (7, 7) V = 49

    F = 49

    E = 196

    (12, 12) V = 108

    F = 216

    E = 324

    V = 216

    F = 108

    E = 324

    (8, 0) V = 64

    F = 64

    E = 128

    (14, 14) V = 147

    F = 294

    E = 441

    V = 294

    F = 147

    E = 441

    (8, 1) V = 64

    F = 64

    E = 256

    (16, 16) V = 192

    F = 384

    E = 576

    V = 384

    F = 192

    E = 576

    “Blended” teselacije izven evklidskega prostora

    Tako, kot v evkliskem prostoru, lahko tudi v drugih prostorih naredimo “blended” teselacije, to velja tudi za teselacije s steliranimi mnogokotniki, teselacije realne projektivne ravnine in teselacije torusa.

    Pravilni poliedrski sestavi

    Glavni članek: Poliedrski sestav

    Pravilni sestavi so poliedri, ki so sestavljeni iz več enakih platonskih teles. Telo dobimo ali z združevanjem teles ali s facetiranjem platonskih teles. Tako poznamo 5 različnih pravilnih sestavov. Vsi imajo neko vrsto ikozaederske simetrije razen zvednega oktaedra, saj nastane s facetiranjem kocke. Poznamo tudi dualno pravilne sestave, vendar tukaj niso navedeni, saj niso niti ogliščno prehodni, zato jih le redkokdo uvršča med pravilne poliedre. Pravilnim sestavom se da določiti Schläflijev simbol, vendar se pri njih raje uporablja Coxeterjeve simbole.

    Pravilni poliederski sestavi
    Zvezdni oktaeder Kiro-ikozaeder Sestav dveh

    kiro-ikozaedrov

    Rombieder Mali

    ikoziikozaeder

    slika Compound of two tetrahedra.png Compound of five tetrahedra.png Compound of ten tetrahedra.png Compound of five cubes.png Compound of five octahedra.png
    3D model Compound of five tetrahedra (full).stl Compound of ten tetrahedra (full).stl Compound of five cubes.stl Compound of five octahedra (full).stl
    Coxeterjev simbol {4, 3} [2{3, 3}] {3, 4} {5, 3} [5{3, 3}] {3, 5} 2{5, 3} [10{3, 3}] 2{3, 5} 2{5, 3} [5{4, 3}] [5{3, 4}] 2{3, 5}
    nastal z združevanjem 2 tetraedrov 5 tetraedrov 10 tetraedrov 5 kock 5 oktaedrov
    nastal s facetiranjem

    (konveksna ogrinjača)

    kocke dodekaedra dodekaedra dodekaedra ikozidodekaedra
    št. stranskih ploskev 8 20 40 30 40
    št. oglišč 8 20 20 20 30
    št. robov 12 30 60 60 60
    Eulerjeva karakteristika 4 10 0 −10 10
    simetrija Oh I Ih Ih Ih
    dual sam sebi kiralni kiro-ikozaeder sam sebi mali ikoziikozaeder rombieder

    Pravilni teselacijski sestavi

    Poznamo neskončno pravilnih teselacijskih sestavov, od tega jih je 7 v sferičnem prostoru in 18 oz. 20 (odvisno od vira) v evklidskem. Hiperbolični prostor dopušča neskončno različnih pravilnih teselacijskih sestavov. Sferični teselacijski sestavi so isti kot pravilni poliederski sestavi, dodati moramo le še pravilna sestava hozoedra in diedra. Pri teselacijskih sestavih se pri Coxeterjevem simbolu lahko pojavijo enake številke za različne sestave, zato moramo v simbol vključiti še oz. . Pri hiperboličnih je pri nekaterih primerih q lahko poljubno velik (kar nam da neskončno teselacijskih sestavov), edina omejitev je:

    ,

    saj če bi bil enak 1/2 bi bil pravilen v evklidkem prostoru, če bi bil večji od tega pa bi bil pravilen v sferičnem prostoru. Za seznam se domneva, da je zaključen, saj že dolgo ni bilo odkritega novega sestava, vendar tega še niso dokazali.[8]

    Pravilni teselacijski sestavi v sferičnem prostoru[8]
    Coxeterjev simbol slika nastal z združevanjem dual
    {4, 3} [2{3, 3}] {3, 4} Spherical compound of two tetrahedra.png 2 tetraedrov sam sebi
    {5, 3} [5{3, 3}] {3, 5} Spherical compound of five tetrahedra.png 5 tetraedrov sam sebi
    2{5, 3} [10{3, 3}] 2{3, 5} Spherical compound of ten tetrahedra.png 10 tetraedrov sam sebi
    2{3, 4} [3{4, 2}] {4, 3} Three tetragonal diherda compound.png 3 štiristranih diedrov {3, 4} [3{2, 4}] 2{4, 3}
    {3, 4} [3{2, 4}] 2{4, 3} Three tetragonal diherda compound.png 3 štiristranih hozoedrov 2{3, 4} [3{4, 2}] {4, 3}
    2{5, 3} [5{4, 3}] Spherical compound of five cubes.png 5 kock [5{3, 4}] 2{3, 5}
    [5{3, 4}] 2{3, 5} Spherical compound of five octahedra.png 5 oktaedrov 2{5, 3} [5{4, 3}]
    Pravilni teselacijski sestavi v evklidkem prostoru[8]
    Coxeterjev simbol slika nastal z združevanjem dual
    {4, 4} [(b2 + c2) {4, 4}] {4, 4} kvadratnega tlakovanja sam sebi
    2{4, 4} [2(b2 + c2) {4, 4}] 2{4, 4} Kah 4 4.png 2 kvadratnih tlakovanj sam sebi
    {3, 6} [(b2 + bc + c2) {3, 6}] 2{6, 3} trikotnega tlakovanja 2{3, 6} [(b2 + bc + c2) {6, 3}] {6, 3}
    2{3, 6} [(b2 + bc + c2) {6, 3}] {6, 3} šestkotnega tlakovanja {3, 6} [(b2 + bc + c2) {3, 6}] 2{6, 3}
    2{3, 6} [2(b2 + bc + c2) {3, 6}] 4{6, 3} 2 trikotnih tlakovanj 4{3, 6} [2(b2 + bc + c2) {6, 3}] 2{6, 3}
    4{3, 6} [2(b2 + bc + c2) {6, 3}] 2{6, 3} 2 šestkotnih tlakovanj 2{3, 6} [2(b2 + bc + c2) {3, 6}] 4{6, 3}
    {6, 3} [2(b2 + bc + c2) {3, 6}] 2{3, 6} 2 trikotnih tlakovanj 2{6, 3} [2(b2 + bc + c2) {6, 3}] {3, 6}
    2{6, 3} [2(b2 + bc + c2) {6, 3}] {3, 6} 2 šestkotnih tlakovanj {6, 3} [2(b2 + bc + c2) {3, 6}] 2{3, 6}
    2{6, 3} [4(b2 + bc + c2) {3, 6}] 4{3, 6} 4 trikotnih tlakovanj 4{6, 3} [4(b2 + bc + c2) {6, 3}] 2{3, 6}
    4{6, 3} [4(b2 + bc + c2) {6, 3}] 2{3, 6} 4 šestkotnih tlakovanj 2{6, 3} [4(b2 + bc + c2) {3, 6}] 4{3, 6}
    {3, 6} [(b2 + bc + c2) {3, 6}] {3, 6} trikotnega tlakovanja {6, 3} [(b2 + bc + c2) {6, 3}] {6, 3}
    {6, 3} [(b2 + bc + c2) {6, 3}] {6, 3} šestkotnega tlakovanja {3, 6} [(b2 + bc + c2) {3, 6}] {3, 6}
    2{3, 6} [2(b2 + bc + c2) {3, 6}] 2{3, 6} 2 trikotnih tlakovanj 2{6, 3} [2(b2 + bc + c2) {6, 3}] 2{6, 3}
    2{6, 3} [2(b2 + bc + c2) {6, 3}] 2{6, 3} 2 šestkotnih tlakovanj 2{3, 6} [2(b2 + bc + c2) {3, 6}] 2{3, 6}
    {6, 3} [2(b2 + bc + c2) {3, 6}] Compound 2 triangular tilings.png 2 trikotnih tlakovanj [2(b2 + bc + c2) {6, 3}] {3, 6}
    [2(b2 + bc + c2) {6, 3}] {3, 6} Compound 2 hexagonal tilings.png 2 šestkotnih tlakovanj {6, 3} [2(b2 + bc + c2) {3, 6}]
    2{6, 3} [4(b2 + bc + c2) {3, 6}] 4 trikotnih tlakovanj [4(b2 + bc + c2) {6, 3}] 2{3, 6}
    [4(b2 + bc + c2) {6, 3}] 2{3, 6} 4 šestkotnih tlakovanj 2{6, 3} [4(b2 + bc + c2) {3, 6}]

    Nekateri izmed virov prištevajo tudi naslednja dva sestava:

    Pravilni teselacijski sestavi v evklidkem prostoru
    Coxeterjev simbol slika nastal z združevanjem dual
    {3, 6} [3{3, 6}] 2{6, 3} Compound 3 triangular tilings.png 3 trikotnih tlakovanj 2{3, 6} [3{6, 3}] {6, 3}
    2{3, 6} [3{6, 3}] {6, 3} Compound 3 hexagonal tilings.png 3 šestkotnih tlakovanj {3, 6} [3{3, 6}] 2{6, 3}
    {4, ∞} [2{∞, ∞}]{∞, 4}, ena izmed različic {4, q} [2{q, q}] {q, 4}, pri tej je q = ∞
    Pravilni teselacijski sestavi v hiperboličnem prostoru[8]
    Coxeterjev simbol nastal z združevanjem dual
    {4, q} [2{q, q}] {q, 4} 2 {q, q} sam sebi
    {3, 8} [6{8, 8}] {8, 3} 6 {8, 8} sam sebi
    {5, 5} [6{10, 10}] {5, 5} 6 {10, 10} sam sebi
    {4, 5} [12{10, 10}] {5, 4} 12 {10, 10} sam sebi
    {3, 7} [9{7, 7}] {7, 3} 9 {7, 7} sam sebi
    2{3, 7} [18{7, 7}] 2{7, 3} 18 {7, 7} sam sebi
    {3, 2q} [3{q, 2q}] 2{2q, 3} 3 {q, 2q} 2{3, 2q} [3{2q, q}] {2q, 3}
    2{3, 2q} [3{2q, q}] {2q, 3} 3 {2q, q} {3, 2q} [3{q, 2q}] 2{2q, 3}
    {4, 5} [6{4, 10}] 2{4, 5} 6 {4, 10} 2{5, 4} [6{10, 4}] {5, 4}
    2{5, 4} [6{10, 4}] {5, 4} 6 {10, 4} {4, 5} [6{4, 10}] 2{4, 5}
    {3, 7} [8{3, 14}] 2{3, 7} 8 {3, 14} 2{7, 3} [8{14, 3}] {7, 3}
    2{7, 3} [8{14, 3}] {7, 3} 8 {14, 3} {3, 7} [8{3, 14}] 2{3, 7}
    {3, 7} [24{7, 14}] 2{7, 3} 24 {7, 14} 2{3, 7} [24{14, 7}] {7, 3}
    2{3, 7} [24{14, 7}] {7, 3} 24 {14, 7} {3, 7} [24{7, 14}] 2{7, 3}
    {3, 9} [12{9, 18}] 2{9, 3} 12 {9, 18} 2{3, 9} [12{18, 9}] {9, 3}
    2{3, 9} [12{18, 9}] {9, 3} 12 {18, 9} {3, 9} [12{9, 18}] 2{9, 3}
    {2q, q} [2{q, 2q}] 2 {q, 2q} [2{2q, q}] {q, 2q}
    [2{2q, q}] {q, 2q} 2 {2q, q} {2q, q} [2{q, 2q}]
    2{3, 7} [9{4, 7}] 9 {4, 7} [9{7, 4}] 2{7, 3}
    [9{7, 4}] 2{7, 3} 9 {7, 4} 2{3, 7} [9{4, 7}]
    {3, 9} [4{3, 18}] 4 {3, 18} [4{18, 3}] {9, 3}
    [4{18, 3}] {9, 3} 4 {18, 3} {3, 9} [4{3, 18}]

    “Blended” teselacijski sestavi

    Načeloma lahko imajo vsi teselacijski sestavi tudi svoji “blended” različici, vendar ni preverjeno, ali so potem še vedno pravilni sestavi. To področje je še zelo neraziskano.

    Kompleksni poliedri

    Poznamo 3 kompleksne poliedre in dve neskončni družini, ki jih je opisal Coxeter. Coxeter je v svoj seznam vključeval tudi Platonska telesa, vendar ker smo te že predstvaili, jih na tem seznamu ni.

    3{3}3{3}3 2{4}3{3}3 3{3}3{4}2 2{3}2{4}p p{4}2{3}2
    p > 1
    slika Complex polyhedron 3-3-3-3-3.png Complex polyhedron 2-4-3-3-3.png Complex polyhedron 3-3-3-4-2.png glej spodnjo

    preglednico

    stranska ploskev Complex polygon 3-3-3.png

    3{3}3

    Complex polygon 2-4-3-stereographic0.png

    2{4}3

    Complex polygon 3-3-3.png

    3{3}3

    trikotnik

    {3}

    p{4}2
    rob 3{} {} 3{} {} p{}
    Coxeterjevo število 9 18 3p
    št. oglišč 27 54 72 3p p3
    št. stranskih ploskev 27 72 54 p3 3p
    št. robov 72 216 216 3p2 3p2
    Eulerjeva karakteristika −18 −90 −90
    slika oglišča 3{3}3 3{3}3 3{4}2 2{4}p trikotnik

    {3}

    Neskončni družini se v bistvu začneta že z evklidskimi poliedri. Kocka in oktaeder nastaneta, ko je p = 2. Tako pogosto imenujemo družini kot družina kompleksnih kock in družina kompleksnih oktaedrov. Naslednji seznam prikazuje prvih deset teles iz vsake družine, vključno z oktaedrom in heksaedrom (kocko). Kocka in oktaeder sta iz svoje slike neprepoznavna, saj smo ju projecirali na enak način, kot ostale, katerih ne moremo projecirati na ravnino na nam bolj intuitiven način.

    p 2 (platonski telesi) 3 4 5 6 7 8 9 10
    2{3}2{4}p

    oktaederska

    skupina

    Complex tripartite graph octahedron.svg 3-generalized-3-orthoplex-tripartite.svg 4-generalized-3-orthoplex.svg 5-generalized-3-orthoplex.svg 6-generalized-3-orthoplex.svg 7-generalized-3-orthoplex.svg 8-generalized-3-orthoplex.svg 9-generalized-3-orthoplex.svg 10-generalized-3-orthoplex.svg
    p{4}2{3}2

    heksaederska

    skupina

    2-generalized-3-cube.svg 3-generalized-3-cube.svg 4-generalized-3-cube.svg 5-generalized-3-cube.svg 6-generalized-3-cube.svg 7-generalized-3-cube.svg 8-generalized-3-cube.svg 9-generalized-3-cube.svg 10-generalized-3-cube.svg

    Poliedri v višjih dimenzijah

    Končni pravilni poševni poliedri obstojajo v štirirazsežnem prostoru. Ti končni poševni poliedri v štiri razsežnem prostoru se lahko obravnavajo kot podmnožica stranskih ploskev uniformnega polihorona. Dve dualni rašitvi sta povezani s 5-celico, dve dualni rešitvi sta povezani s 24-celico. Neskončna množica sebi dualnih duoprizem generira pravilne poševne poliedre z {4,4|n}. V neskončnosti limiti se približujejo duocilindru in izgleda kot torus v stereografski projekciji v trirazsežni prostor.

    Končni pravilni poševni poliedri v štiri razsežnem prostoru
    Ortogonalne projekcije na Coxeterjevo ravnino Stereografska projekcija
    A4 F4
    4-simplex t03.svg 4-simplex t12.svg 24-cell t03 F4.svg 24-cell t12 F4.svg Clifford-torus.gif
    {4, 6 | 3} {6, 4 | 3} {4, 8 | 3} {8, 4 | 3} {4, 4 | n}

    Abstraktni pravilni poliedri

    Glavni članek: abstraktni pravilni polieder.

    V današnjem času se poliedri se razumejo kot tri razsežne splošne oblike politopov v poljubnem številu razsežnosti.

    Polieder DU36 medial rhombic triacontahedron.png
    srednji rombski triakontaeder
    Dodecadodecahedron.png
    dodekadodekaeder
    DU41 medial triambic icosahedron.png
    srednji triambskiikozaeder
    Ditrigonal dodecadodecahedron.png
    ditrigonalni dodekadodekaeder
    Excavated dodecahedron.png
    izkopan dodekaeder
    Slika oglišč {5}, {5/2}
    Regular polygon 5.svgPentagram green.svg
    (5.5/2)2
    Dodecadodecahedron vertfig.png
    {5}, {5/2}
    Regular polygon 5.svgPentagram green.svg
    (5.5/3)3
    Ditrigonal dodecadodecahedron vertfig.png
    Medial triambic icosahedron face.png
    Stranske ploskve 30 rombov
    Rhombus definition2.svg
    12 petkotnikov
    12 pentagramov
    Regular polygon 5.svgPentagram green.svg
    20 šestkotnikov
    Medial triambic icosahedron face.png
    12 petkotnikov
    12 pentagramov
    Regular polygon 5.svgPentagram green.svg
    20 šestkotnikov
    Star hexagon face.png
    Tlakovanje Uniform tiling 45-t0.png
    {4, 5}
    Uniform tiling 552-t1.png
    {5, 4}
    Uniform tiling 65-t0.png
    {6, 5}
    Uniform tiling 56-t0.png
    {5, 6}
    Uniform tiling 66-t0.png
    {6, 6}

    Glej tudi

    Sklici

    1. Hubart, Isabel (5. 4. 2019). "Petrie-Coxeter Maps Revisited" (PDF). Pridobljeno dne 7. 12. 2020.
    2. 2,00 2,01 2,02 2,03 2,04 2,05 2,06 2,07 2,08 2,09 2,10 McMullen, P.; Schulte, E. (1997-06-01). "Regular Polytopes in Ordinary Space". Discrete & Computational Geometry (angleščina). Vol. 17 no. 4. str. 449–478. doi:10.1007/PL00009304. ISSN 1432-0444.
    3. 3,0 3,1 Liu, Allen. "The Stars Above Us: Regular and Uniform Polytopes up to Four Dimensions" (PDF). Univerza Harvard. Pridobljeno dne 7. 12. 2020.
    4. Chen; Liang (2006).
    5. "Regular Map database - list for manifold". www.weddslist.com. Pridobljeno dne 2020-12-12.
    6. "Regular maps in the projective plane". www.weddslist.com. Pridobljeno dne 2020-12-12.
    7. 7,0 7,1 7,2 7,3 "Regular Map database - list for manifold". www.weddslist.com. Pridobljeno dne 2020-12-12.
    8. 8,0 8,1 8,2 8,3 Coxeter, H. S. M. (1964). "Regular Compound Tessellations of the Hyperbolic Plane". Proceedings of the Royal Society of London. Series A, Mathematical and Physical Sciences. Vol. 278 no. 1373. str. 147–167. ISSN 0080-4630.

    Viri

    Zunanje povezave