Išči

    Prirezani dodekaeder

    Prirezani dodekaeder
    Snubdodecahedronccw.jpg
    (animacija)
    vrsta arhimedsko telo
    uniformni polieder
    elementi F = 92, E = 150,
    V = 60 (χ = 2)
    stranske ploskve na stran (20 + 60){3} + 12{5}
    Conwayjev zapis sD
    Schläflijevi simboli sr{5,3} ali
    ht0,1,2{5,3}
    Wythoffov simbol | 2 3 5
    Coxeter-Dinkinov diagram CDel node h.pngCDel 5.pngCDel node h.pngCDel 3.pngCDel node h.png
    simetrija I, 1/2H3, [5,3]+, (*532), red 60
    vrtilna grupa I, [5,3]+, (532), red 60
    diedrski kot 3-3: 164°10′31″ (164,18°)
    3-5: 152°55′53″ (152,93°)
    sklici U29, C32, W18
    značilnosti konveksen
    polpravilen
    kiralen
    Snub dodecahedron ccw.png
    obarvane stranske ploskve
    Snub dodecahedron vertfig.png
    3.3.3.3.5
    (slika oglišč)
    Pentagonalhexecontahedronccw.jpg petstrani heksekontaeder
    (dualni polieder)
    Snub dodecahedron flat.svg
    mreža telesa

    Prirezani dodekaeder (ali prirezani ikozidodekaeder) je v geometriji konveksni polieder. Je arhimedsko telo, eno od trinajstih konveksnih izogonalnih neprizmatičnih teles skonstruirano z dvema ali več vrstami pravilnih mnogokotniških stranskih ploskev.

    Ima dvaindevetdeset pravilnih stranskih ploskev, od tega osemdeset enakostraničnotrikotniških in dvanajst petkotniških, ter 150 robov in 60 oglišč.

    Spada med kiralne poliedre z dvema različnima oblikama, ki sta zrcalni sliki (ali enanciomorfni druga drugi). Edini kiralni arhimedski telesi sta prirezana kocka in prirezani dodekaeder.

    Unija obeh oblik je sestav dveh prirezanih dodekaedrov, konveksna ogrinjača obeh oblik pa je prisekani ikozidodekaeder.

    Vsebina

    Druga imena

    Johannes Kepler je najprej imenoval telo v latinščini kot dodecahedron simum leta 1619 v svoji knjigi Ubranost sveta (Harmonices Mundi). Harold S. M. Coxeter je opazil, da se lahko telo skonstruira enakovredno iz dodekaedra ali ikozaedra, in ga je imenoval prirezani ikozidodekaeder (snub icosidodecahedron), z navpičnim razširjenim Schläflijevim simbolom .

    Kartezične koordinate

    Kartezične koordinate za oglišča prirezanega dodekaedra s središčem v izhodišču so vse sode permutacije

    (±2α, ±2, ±2β),
    (±(α + β/φ + φ), ±(−αφ + β + 1/φ), ±(α/φ + βφ − 1)),
    (±(α + β/φ − φ), ±(αφ − β + 1/φ), ±(α/φ + βφ + 1)),
    (±(−α/φ + βφ + 1), ±(−α + β/φ − φ), ±(αφ + β − 1/φ)) and
    (±(−α/φ + βφ − 1), ±(α − β/φ − φ), ±(αφ + β + 1/φ)),

    s sodim številom znakov za seštevanje, kjer je:

    α = ξ − 1/ξ

    in

    β = ξφ + φ2 + φ/ξ,

    kjer je število zlatega reza in ξ realna rešitev enačbe ξ3 − 2ξ = φ, ki je število:

    Dolžina roba prirezanega dodekaedra je enaka približno 6,0437380841.

    Če se vzamejo lihe permutacije zgornjih koordinat s sodim številom znakov za seštevanje, se dobi druga oblika, enanciomorfna drugi obliki. Čeprav ni takoj očitno, je oblika, dobljena s sodimi permutacijami s sodim številom znakov za seštevanje, enaka kot tista, dobljena z lihimipermutacijami s sodim številom znakov za seštevanje. Podobno ima zrcalna slika ali liho permutacijo s sodim številom znakov za seštevanje ali sodo permutacijo z lihim številom znakov za seštevanje.

    Površina in prostornina

    Razvijanje rombiikozidodekaedra v prirezani dodekaeder

    Površina P prirezanega dodekaedra z dolžino roba 1 je enaka:

    prostornina V pa:

    kjer je φ število zlatega reza.

    Prirezani dodekaeder ima najvišjo sfernost (približno 0,982) med vsemi arhimedskimi telesi.

    Pravokotne projekcije

    Prirezani dodekaeder ima tri posebne pravokotne projekcije usrediščene na rob in dve vrsti stranskih ploskev (enakostranični trikotniki in petkotniki). Zadnji dve odgovarjata Coxeterjevima ravninama A2 in H2s.

    Pravokotne projekcije
    usrediščeno na rob stransko ploskev
    enakostranični trikotnik
    stransko ploskev –
    petkotnik
    slika Snub dodecahedron e1.png Snub dodecahedron A2.png Snub dodecahedron H2.png
    projektivna
    simetrija
    [2] [3] [5]+
    petstrani
    heksekontaeder
    Dual snub dodecahedron e1.png Dual snub dodecahedron A2.png Dual snub dodecahedron H2.png

    Geometrijski odnosi

    Prirezani dodekaeder lahko nastane, če se vzame dvanajst petkotniških stranskih ploskev dodekaedra in se jih razširi navzven, da se ne stikajo več. Na ustrezni razdalji nastane rombiikozidodekaeder, če se razdeljeni robovi zapolnijo s kvadrati in razdeljena oglišča z enakostraničnimi trikotniki. Da nastane prirezani dodekaeder, je treba dodati trikotniške stranske ploskve in pustiti prazne kvadratne vrzeli. Potem se izvede enak zasuk središč petkotnikov in enakostraničnih trikotnikov, in se nadaljuje z zasukom dokler se vrzeli lahko zapolnijo z dvema enakostraničnimi trikotnikoma.

    Dodecahedron.png
    Dodekaeder
     
    Small rhombicosidodecahedron.png
    Rombiikozidodekaeder
    (razširjeni dodekaeder)
    Snub dodecahedron cw.png
    Prirezani dodekaeder
     

    Prirezani dodekaeder se lahko skonstruira tudi iz prisekanega ikozidodekaedra z alternacijo. Šestdeset oglišč prisekanega ikozidodekaedra tvori polieder, ki je topološko enakovreden prirezanemu dodekaedru; preostalih šestdeset tvori njegovo zrcalno obliko. Nastali polieder je ogliščnoprehoden, ni pa uniformen, ker njegovi robovi nimajo enakih dolžin – tako da je potrebna dodatna deformacija, da se ga pretvori v uniformni polieder.

    Sorodni poliedri in tlakovanja

    Ta polpravilni polieder je član zaporedja prirezanih poliedrov s sliko oglišča (3.3.3.3.n) in Coxeter-Dinkinovim diagramom CDel node h.pngCDel n.pngCDel node h.pngCDel 3.pngCDel node h.png. Te oblike in njihovi duali imajo rotacijsko simetrijo (n32), v evklidski ravnini za n = 6, in v hiperbolični ravnini za poljubni višji n. Zaporedje se lahko začne z n = 2, kjer je ena množica stranskih ploskev izrojena v dvokotnike.

    Glej tudi

    Viri

    • Cromwell, Peter Richard (1997), Polyhedra, Cambridge: Cambridge University Press, str. 79-86 Archimedean solids, COBISS 6472537, ISBN 0-521-55432-2
    • Jayatilake, Udaya (2005–03), "Calculations on face and vertex regular polyhedra", Mathematical Gazette, 89 (514): 76–81CS1 vzdrževanje: Date format (link)
    • Klitzing, Richard Klitzing, 3D convex uniform polyhedra, s3s5s - snid (angleško)
    • Williams, Robert Edward (1979), "§ 3-9", The Geometrical Foundation of Natural Structure: A Source Book of Design, Dover Publications, Inc, ISBN 0-486-23729-X

    Zunanje povezave