Išči

    Prisekani ikozidodekaeder

    Prisekani ikozidodekaeder
    Truncatedicosidodecahedron.jpg
    (animacija)
    vrsta arhimedsko telo
    uniformni polieder
    elementi F = 62, E = 180,
    V = 120 (χ = 2)
    stranske ploskve na stran 30{4} + 20{6} + 12{10}
    Conwayjev zapis bD ali taD
    Schläflijevi simboli tr{5,3} ali
    t0,1,2{5,3}
    Wythoffov simbol 2 3 5 |
    Coxeter-Dinkinov diagram CDel node 1.pngCDel 5.pngCDel node 1.pngCDel 3.pngCDel node 1.png
    simetrija Ih, H3, [5,3], (*532), red 120
    vrtilna grupa I, [5,3]+, (532), red 60
    diedrski kot 6-10: 142,62°
    4-10: 148,28°
    4-6: 159,095°
    sklici U28, C31, W16
    značilnosti konveksen
    polpravilen
    zonoeder
    Great rhombicosidodecahedron.png
    obarvane stranske ploskve
    Great rhombicosidodecahedron vertfig.png
    4.6.10
    (slika oglišč)
    Disdyakistriacontahedron.jpg disdiakisni triakontaeder
    (dualni polieder)
    Truncated icosidodecahedron flat.svg
    mreža telesa

    Prisekani ikozidodekaeder je v geometriji konveksni polieder. Je arhimedsko telo, eno od trinajstih konveksnih izogonalnih neprizmatičnih teles skonstruirano z dvema ali več vrstami pravilnih mnogokotniških stranskih ploskev.

    Ima dvainšestdeset pravilnih stranskih ploskev, od tega trideset kvadratnih, dvajset šestkotniških in dvanajst desetkotniških, ter 120 robov in 180 oglišč – največ od vseh konveksnih neprizmatičnih uniformnih poliedrov. Ker ima vsaka njegova stranska ploskev točkovno sismetrijo (enakovredno 180° vrtilno simetrijo), je prisekani ikozidodekaeder zonoeder.

    Vsebina

    Druga imena

    Telo ima naslednja druga imena:

    Ime prisekani ikozidodekaeder, ki ga je izvirno imenoval Kepler, je deloma zavajujoč. Če se priseka ikozidodekaeder, ne nastane uniformni polieder. Namesto kvadratov ima takšna prisekanost zlate pravokotnike. Vendar je nastalo telo topološko enakovredno temu in se lahko vedno deformira vse dokler stranske ploskve niso pravilne.

    Icosidodecahedron.png
    Ikozidodekaeder
    Nonuniform truncated icosidodecahedron.png
    Točno geometrično prisekavanje ikozidodekaedra tvori pravokotniške stranske ploskve in ne kvadratne.

    Drugo ime veliki rombiikozidodekaeder (kakor tudi rombiprisekani ikozidodekaeder) se nanaša na dejstvo, da 30 kvadratnih stranskih ploskev leži v istih ravninah kot 30 stranskih ploskev romskega triakontaedra, ki je dual ikozidodekaedru. Primerjaj z rombiikozidodekaedrom.

    Ena nesrečna stvar je, da obstaja nekonveksni uniformni polieder z enakim imenom. Glej nekonveksni veliki rombiikozidodekaeder.

    Kartezične koordinate

    Kartezične koordinate za oglišča prisekanega ikozidodekaedra s središčem v izhodišču z dolžino roba enako 2φ − 2 so vse sode permutacije:[4]

    1/φ, ±1/φ, ±(3 + φ)),
    2/φ, ±φ, ±(1 + 2φ)),
    1/φ, ±φ2, ±(−1 + 3φ)),
    (±(2φ − 1), ±2, ±(2 + φ)) in
    (±φ, ±3, ±2φ),

    kjer je:

    število zlatega reza.

    Površina in prostornina

    Površina P in prostornina V prisekanega ikozidodekaedra z dolžino roba a sta:

    Če se skonstruira množica vseh 13-ih arhimedskih teles z enakimi dolžinami robov, bi bil prisekani ikozidodekaeder največji.

    Pravokotne projekcije

    Prisekani ikozidodekaeder ima sedem posebnih pravokotnih projekcij usrediščenih na oglišče, tri vrste robov in tri vrste stranskih ploskev (kvadrati, šestkotniki in desetkotniki). Zadnji dve odgovarjata Coxeterjevima ravninama A2 in H2.

    Pravokotne projekcije
    usrediščeno na oglišče rob
    4-6
    rob
    4-10
    rob
    6-10
    stransko ploskev
    kvadrat
    stransko ploskev –
    šestkotnik
    stransko ploskev –
    desetkotnik
    slika Dodecahedron t012 v.png Dodecahedron t012 e46.png Dodecahedron t012 e4x.png Dodecahedron t012 e6x.png Dodecahedron t012 f4.png Dodecahedron t012 A2.png Dodecahedron t012 H3.png
    projektivna
    simetrija
    [2]+ [2] [2] [2] [2] [6] [10]
    disdiakisni
    triakontaeder
    Dual dodecahedron t012 v.png Dual dodecahedron t012 e46.png Dual dodecahedron t012 e4x.png Dual dodecahedron t012 e6x.png Dual dodecahedron t012 f4.png Dual dodecahedron t012 A2.png Dual dodecahedron t012 H3.png

    Sferna tlakovanja in Schleglovi diagrami

    Prisekani ikozidodekaeder se lahko predstavi tudi kot sferno tlakovanje in projicira na ravnino s stereografsko projekcijo. Ta projekcija je konformna in ohranja kote ne pa tudi površine ali dolžine. Premice na sferi se projicirajo kot krožni loki na ravnino.

    Schleglovi diagrami so podobni s perspektivno projekcijo in ravnimi robovi.

    ortografska projekcija stereografske projekcije
    Uniform tiling 532-t012.png Truncated icosidodecahedron stereographic projection decagon.png Truncated icosidodecahedron stereographic projection hexagon.png Truncated icosidodecahedron stereographic projection square.png
    Truncated icosidodecahedron ortho skew.png Truncated icosidodecahedron schlegel-decacenter-color.png Truncated icosidodecahedron schlegel-hexacenter-color.png Truncated icosidodecahedron schlegel-squarecenter-color.png
      usrediščeno na desetkotnik usrediščeno na šestkotnik usrediščeno na kvadrat

    Geometrijski odnosi

    Znotraj ikozaedrske simetrije obstaja neomejeno število geometrijskih različic prisekanega ikozidodekaedra z izogonalnimi stranskimi ploskvami. Prisekani dodekaeder, rombiikozidodekaeder in prisekani ikozaeder so izrojeni mejni primeri.

    Truncated dodecahedron.png Great truncated icosidodecahedron convex hull.png Nonuniform truncated icosidodecahedron.png Great rhombicosidodecahedron.png Truncated dodecadodecahedron convex hull.png Icositruncated dodecadodecahedron convex hull.png Truncated icosahedron.png
    CDel node 1.pngCDel 5.pngCDel node 1.pngCDel 3.pngCDel node.png CDel node 1.pngCDel 5.pngCDel node 1.pngCDel 3.pngCDel node 1.png CDel node.pngCDel 5.pngCDel node 1.pngCDel 3.pngCDel node 1.png

    Sorodni poliedri in tlakovanja

    Ta polieder se ima lahko za člana zaporedja uniformnih vzorcev s sliko oglišč (4.6.2p) in Coxeter-Dinkinovim diagramom CDel node 1.pngCDel p.pngCDel node 1.pngCDel 3.pngCDel node 1.png. Za p < 6 so člani omniprisekani poliedri (zonoedri), prikazani spodaj kot sferna tlakovanja. Za p > 6 so tlakovanja v hiperbolični ravnini, ki se začne s prisekanim trisedemkotnim tlakovanjem.

    Glej tudi

    Sklici

    1. Wenninger (1974), model 16, str. 30.
    2. Williams (1979), § 3-9, str. 94.
    3. Cromwell (1997), str. 82.
    4. Weisstein, Eric Wolfgang. "Icosahedral group". MathWorld (angleščina).

    Viri

    Zunanje povezave