Išči

    Prisekani oktaeder

    Prisekani oktaeder
    Truncatedoctahedron.jpg
    (animacija)
    vrsta arhimedsko telo
    uniformni polieder
    Elementi F = 14, E = 36,
    V =24 (χ = 2)
    stranske ploskve na stran 6{4} + 8{6}
    Conwayjev zapis tO
    bT
    Schläflijevi simboli t{3,4}
    tr{3,3} ali
    t0,1{3,4} ali t0,1,2{3,3}
    Wythoffov simbol 2 4 | 3
    3 3 2 |
    Coxeter-Dinkinov diagram CDel node.pngCDel 4.pngCDel node 1.pngCDel 3.pngCDel node 1.png
    CDel node 1.pngCDel 3.pngCDel node 1.pngCDel 3.pngCDel node 1.png
    simetrija Oh, B3, [4,3], (*432), red 48
    Th, [3,3] in (*332), red 24
    vrtilna grupa O, [4,3]+, (432), red 24
    diedrski kot 4-6: cos(-1/√3) = 125º 15′ 51″
    6-6: cos(-1/3) = 109º 28′ 16″
    sklici U08, C20, W7
    značilnosti konveksen
    polpravilen
    zonoeder
    paraleloeder
    permutaeder
    Truncated octahedron.png
    obarvane stranske ploskve
    Truncated octahedron vertfig.png
    4.6.6
    (slika oglišč)
    Tetrakishexahedron.jpg tetrakisni heksaeder
    (dualni polieder)
    Truncated Octahedron Net.svg
    mreža telesa

    Prisekani oktaeder je v geometriji konveksni polieder. Je arhimedsko telo, eno od trinajstih konveksnih izogonalnih neprizmatičnih teles skonstruirano z dvema ali več vrstami pravilnih mnogokotniških stranskih ploskev.

    Ima štirinajst pravilnih stranskih ploskev, od tega šest kvadratnih in osem šestkotniških, ter 36 robov in 24 oglišč. Vsaka izmed stranskih ploskev ima točkovno simetrijo in je tako prisekani oktaeder ali zonoeder.

    Če ima prvotni prisekani oktaeder enotski rob (rob z dolžino 1), ima njegov dualni tetrakisni heksaeder rob z dolžino in .

    Vsebina

    Konstrukcija

    Truncated Octahedron with Construction.svg   Square Pyramid.svg

    Prisekani oktaeder se lahko konstruira iz pravilnega oktaedra, ki ima dolžino stranice 3a, tako, da se odstrani šest kvadratnih piramid s pravimi koti, po eno za vsako oglišče. Te piramide imajo dolžino stranice a in stransko dolžino e pri a. Tako tvorijo enakostranične trikotnike. Ploščina osnovnice je a2. Ta oblika je podobna polovici oktaedra Johnsonovega telesa J1.

    Iz značilnosti kvadratne piramide se lahko najde poševno višino s in višino piramide h:

    Prostornina piramide je dana z V:

    Ker se je odstranilo šest piramid, se s tem izgubi prostornino .

    Kartezične koordinate in permutoeder

    Vse permutacije vrednosti (0, ±1, ±2) so kartezične koordinate oglišč prisekanega oktaedra z dolžino roba a = √ 2, ki leži v izhodišču. Oglišča so tako vogali 12 pravokotnikov, ki imajo daljše robove vzporedne s koordinatnimi osmi.

    Vektorji na robovih imajo kartezične koordinate (0, ±1,±1) in njihove permutacije. Pravokotnice na stranske ploskve za šest kvadratnih stranskih ploskev so (0,0, ±1), (0, ±1, 0) in (±1,0,0). Pravokotnice na stranske ploskve za 8 šestkotniških stranskih ploskev je (±1/ 3√3, ±1/ 3√3,±1/ 3√3). Skalarni produkt dveh normal na stranske ploskve je enak kosinusu diedrskega kota med sosednjima stranskima ploskvama. To pa je -1/3 ali -1/3√3 Diedrski kot je približno 1,910633 radianov (to je 109,471 °) za robove med dvema šestkotnikoma in 2,186276 radianov (to je 125,263 °)

    Prisekani oktaeder se lahko prikaže tudi z mnogo bolj simetričnimi koordinatami v štirih razsežnostih. Vse permutacije vrednosti (1, 2, 3, 4) tvorijo oglišča prisekanega oktaedra v trirazsežnem prostoru x + y + z + w = 10. To pa pomeni, da je prisekani oktaeder permutoeder reda 4.

    Permutohedron.svg

    Površina in prostornina

    Površina P in prostornina V prisekanega oktaedra z dolžino roba a sta:

    Pravokotne projekcije

    Prisekani oktaeder ima pet posebnih pravokotnih projekcij usrediščenih na oglišče, dve vrsti robov in dve vrsti stranskih ploskev (šestkotniki in kvadrati). Zadnji dve odgovarjata Coxeterjevima ravninama B2 in A2.

    pravokotne projekcije
    usrediščeno na oglišče rob
    4-6
    rob
    6-6
    stransko ploskev
    kvadrat
    stransko ploskev –
    šestkotnik
    prisekani
    oktaeder
    Cube t12 v.png Cube t12 e46.png Cube t12 e66.png 3-cube t12 B2.svg 3-cube t12.svg
    projektivna
    simetrija
    [2] [2] [2] [4] [6]
    tetrakisni
    heksaeder
    Dual cube t12 v.png Dual cube t12 e46.png Dual cube t12 e66.png Dual cube t12 B2.png Dual cube t12.png

    Uniformno barvanje

    Obstajata dve uniformni barvanji, eno s tetraedrsko, drugo pa z oktaedrsko simetrijo:

    oktaedrska simetrija tetraedrska simetrija
    (omniprisekani tetraeder)
    Truncated Octahedron 122 Colouring.svg
    barvanje 122
    Wythoffov simbol: 2 4 | 3
    Truncated Octahedron 123 Colouring.svg
    barvanje 123
    Wythoffov simbol: 3 3 2 |

    Sorodni poliedri in tlakovanja

    Družina uniformnih oktaederskih poliedrov
    {4,3} t0,1{4,3} t1{4,3} t0,1{3,4} {3,4} t0,2{4,3} t0,1,2{4,3} {4,3} h0{4,3} h1,2{4,3}
    Uniform polyhedron-43-t0.svg Uniform polyhedron-43-t01.svg Uniform polyhedron-43-t1.svg Uniform polyhedron-43-t12.svg Uniform polyhedron-43-t2.svg Uniform polyhedron-43-t02.png Uniform polyhedron-43-t012.png Uniform polyhedron-43-s012.png Uniform polyhedron-33-t2.png Uniform polyhedron-43-h01.svg
    CDel node 1.pngCDel 4.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel node.png CDel node 1.pngCDel 4.pngCDel node 1.pngCDel 3.pngCDel node.png CDel node.pngCDel 4.pngCDel node 1.pngCDel 3.pngCDel node.png CDel node.pngCDel 4.pngCDel node 1.pngCDel 3.pngCDel node 1.png CDel node.pngCDel 4.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel node 1.png CDel node 1.pngCDel 4.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel node 1.png CDel node 1.pngCDel 4.pngCDel node 1.pngCDel 3.pngCDel node 1.png CDel node h.pngCDel 4.pngCDel node h.pngCDel 3.pngCDel node h.png CDel node h.pngCDel 4.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel node.png CDel node.pngCDel 4.pngCDel node h.pngCDel 3.pngCDel node h.png
    Družina uniformnih tetraedrskih poliedrov
    {3,3} t0,1{3,3} t1{3,3} t1,2{3,3} t2{3,3} t0,2{3,3} t0,1,2{3,3} s{3,3}
    Uniform polyhedron-33-t0.png Uniform polyhedron-33-t01.png Uniform polyhedron-33-t1.png Uniform polyhedron-33-t12.png Uniform polyhedron-33-t2.png Uniform polyhedron-33-t02.png Uniform polyhedron-33-t012.png Uniform polyhedron-33-s012.png
    CDel node 1.pngCDel 3.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel node.png CDel node 1.pngCDel 3.pngCDel node 1.pngCDel 3.pngCDel node.png CDel node.pngCDel 3.pngCDel node 1.pngCDel 3.pngCDel node.png CDel node.pngCDel 3.pngCDel node 1.pngCDel 3.pngCDel node 1.png CDel node.pngCDel 3.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel node 1.png CDel node 1.pngCDel 3.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel node 1.png CDel node 1.pngCDel 3.pngCDel node 1.pngCDel 3.pngCDel node 1.png CDel node h.pngCDel 3.pngCDel node h.pngCDel 3.pngCDel node h.png
    simetrija sferna ravninska hiperbolična
    *232
    [2,3]
    D3h
    *332
    [3,3]
    Td
    *432
    [4,3]
    Oh
    *532
    [5,3]
    Ih
    *632
    [6,3]
    P6m
    *732
    [7,3]
     
    *832
    [8,3]
     
    *∞32
    [∞,3]
     
    red 12 24 48 120
    omniprisekana
    oblika
    Spherical truncated trigonal prism.png
    4.6.4
    Uniform tiling 332-t012.png
    4.6.6
    Uniform tiling 432-t012.png
    4.6.8
    Uniform tiling 532-t012.png
    4.6.10
    Uniform polyhedron-63-t012.png
    4.6.12
    Uniform tiling 73-t012.png
    4.6.14
    Uniform tiling 83-t012.png
    4.6.16
    H2 tiling 23i-7.png
    4.6.∞
    Coxeter
    Schläfli
    CDel node 1.pngCDel 2.pngCDel node 1.pngCDel 3.pngCDel node 1.png
    t0,1,2{2,3}
    CDel node 1.pngCDel 3.pngCDel node 1.pngCDel 3.pngCDel node 1.png
    t0,1,2{3,3}
    CDel node 1.pngCDel 4.pngCDel node 1.pngCDel 3.pngCDel node 1.png
    t0,1,2{4,3}
    CDel node 1.pngCDel 5.pngCDel node 1.pngCDel 3.pngCDel node 1.png
    t0,1,2{5,3}
    CDel node 1.pngCDel 6.pngCDel node 1.pngCDel 3.pngCDel node 1.png
    t0,1,2{6,3}
    CDel node 1.pngCDel 7.pngCDel node 1.pngCDel 3.pngCDel node 1.png
    t0,1,2{7,3}
    CDel node 1.pngCDel 8.pngCDel node 1.pngCDel 3.pngCDel node 1.png
    t0,1,2{8,3}
    CDel node 1.pngCDel infin.pngCDel node 1.pngCDel 3.pngCDel node 1.png
    t0,1,2{∞,3}
    omniprisekani
    duali
    Hexagonale bipiramide.png
    V4.6.4
    Tetrakishexahedron.jpg
    V4.6.6
    Disdyakisdodecahedron.jpg
    V4.6.8
    Disdyakistriacontahedron.jpg
    V4.6.10
    Tiling Dual Semiregular V4-6-12 Bisected Hexagonal.svg
    V4.6.12
    Order-3 heptakis heptagonal tiling.png
    V4.6.14
    V4.6.16 V4.6.∞
    Coxeter CDel node f1.pngCDel 2.pngCDel node f1.pngCDel 3.pngCDel node f1.png CDel node f1.pngCDel 3.pngCDel node f1.pngCDel 3.pngCDel node f1.png CDel node f1.pngCDel 4.pngCDel node f1.pngCDel 3.pngCDel node f1.png CDel node f1.pngCDel 5.pngCDel node f1.pngCDel 3.pngCDel node f1.png CDel node f1.pngCDel 6.pngCDel node f1.pngCDel 3.pngCDel node f1.png CDel node f1.pngCDel 7.pngCDel node f1.pngCDel 3.pngCDel node f1.png CDel node f1.pngCDel 8.pngCDel node f1.pngCDel 3.pngCDel node f1.png CDel node f1.pngCDel infin.pngCDel node f1.pngCDel 3.pngCDel node f1.png

    Ta polieder se lahko obravnava kot član uniformnih vzorcev s sliko oglišča (4.6.2p) in s Coxeter-Dinkinovim diagramom CDel node 1.pngCDel p.pngCDel node 1.pngCDel 3.pngCDel node 1.png. Za p < 6 so člani zaporedja omniprisekani poliedri (zonoedri), ki so spodaj prikazani kot sferno tlakovanje. Za p > 6 je to tlakovanje hiperbolične ravnine, ki se prične s prisekano trojno sedemkotno tlakovanje.

    simetrija sferna ravninska hiperbolična...
    *232
    [2,3]
    D3h
    *332
    [3,3]
    Td
    *432
    [4,3]
    Oh
    *532
    [5,3]
    Ih
    *632
    [6,3]
    P6m
    *732
    [7,3]
     
    *832
    [8,3]...
     
    *∞32
    [∞,3]
     
    red 12 24 48 120
    prisekane
    oblike
    Hexagonal dihedron.png
    2.6.6
    Uniform polyhedron-33-t12.png
    3.6.6
    Uniform polyhedron-43-t12.png
    4.6.6
    Uniform polyhedron-53-t12.png
    5.6.6
    Uniform tiling 63-t12.png
    6.6.6
    Uniform tiling 73-t12.png
    7.6.6
    Uniform tiling 83-t12.png
    8.6.6
    H2 tiling 23i-6.png
    3.4.∞.4
    Coxeter
    Schläfli
    CDel node 1.pngCDel 2.pngCDel node 1.pngCDel 3.pngCDel node.png
    t0,1{3,2}
    CDel node 1.pngCDel 3.pngCDel node 1.pngCDel 3.pngCDel node.png
    t0,1{3,3}
    CDel node 1.pngCDel 3.pngCDel node 1.pngCDel 4.pngCDel node.png
    t0,1{3,4}
    CDel node 1.pngCDel 3.pngCDel node 1.pngCDel 5.pngCDel node.png
    t0,1{3,5}
    CDel node 1.pngCDel 3.pngCDel node 1.pngCDel 6.pngCDel node.png
    t0,1{3,6}
    CDel node 1.pngCDel 3.pngCDel node 1.pngCDel 7.pngCDel node.png
    t0,1{3,7}
    CDel node 1.pngCDel 3.pngCDel node 1.pngCDel 8.pngCDel node.png
    t0,1{3,8}
    CDel node 1.pngCDel 3.pngCDel node 1.pngCDel infin.pngCDel node.png
    t0,1{3,∞}
    N-kisne
    oblike
    Hexagonal hosohedron.png
    V2.6.6
    Triakistetrahedron.jpg
    V3.6.6
    Tetrakishexahedron.jpg
    V4.6.6
    Pentakisdodecahedron.jpg
    V5.6.6
    Uniform tiling 63-t2.png
    V6.6.6
    Ord7 triakis triang til.png
    V7.6.6
    Coxeter CDel node f1.pngCDel 2.pngCDel node f1.pngCDel 3.pngCDel node.png CDel node f1.pngCDel 3.pngCDel node f1.pngCDel 3.pngCDel node.png CDel node f1.pngCDel 3.pngCDel node f1.pngCDel 4.pngCDel node.png CDel node f1.pngCDel 3.pngCDel node f1.pngCDel 5.pngCDel node.png CDel node f1.pngCDel 3.pngCDel node f1.pngCDel 6.pngCDel node.png CDel node f1.pngCDel 3.pngCDel node f1.pngCDel 7.pngCDel node.png CDel node f1.pngCDel 3.pngCDel node f1.pngCDel 8.pngCDel node.png CDel node f1.pngCDel 3.pngCDel node f1.pngCDel infin.pngCDel node.png

    Tlakovanja

    Prisekani oktaeder obstaja v treh različnih oblikah konveksnih uniformnih satovij (v tlakovanjih, ki zapolnjujejo prostor).

    Celično prehodno dvojno prisekano kubično satovje se lahko gleda tudi kot Voronojevo tlakovanje telesno centrirane kubične mreže. Prisekani oktaeder je eden izmed petih trirazsežnih osnovnih paraleloedrov

    dvojno prisekana kubična kantiprisekana kubična prisekana alternirana kubična.
    Bitruncated Cubic Honeycomb.svg Cantitruncated Cubic Honeycomb.svg Truncated Alternated Cubic Honeycomb.svg

    Glej tudi

    Zunanje povezave