Išči

    Sedemkotnik

    Pravilni sedemkotnik
    Nepravilni sedemkotnik

    Sédemkótnik ali sedmerokótnik ali s tujko héptagon (starogrško heptagōnos < hepta – sedem + gōnos – ki ima kote) je v ravninski geometriji mnogokotnik s sedmimi stranicami, sedmimi oglišči in sedmimi notranjimi koti.

    Sedemkotnik včasih imenujejo tudi septagon, kjer je predpona sept- (elizija številčne predpone septua-, izvedene iz latinščine).

    Vsebina

    Splošne značilnosti

    V pravilnem sedemkotniku so vse stranice in koti enaki, notranji kot pa znaša 5π/7 radianov, oziroma 128 4/7 = 128,5714286... stopinj. Vsota notranjih kotov v preprostem sedemkotniku je enaka:

    Njegov Schläflijev simbol je {7}.

    Dolžina stranice je:

    kjer je R polmer očrtane krožnice.

    Obseg

    Obseg sedemkotnika z dolžino stranice je:

    Ploščina

    Ploščina pravilnega sedemkotnika z dolžino stranice je:

    To se lahko vidi, če se razdeli sedemkotnik s stranico dolžine 1 na sedem trikotniških rezin z vrhovi v središču in ogliščih sedemkotnika, potem pa se vsak trikotnik s pomočjo apoteme kot skupne stranice razdeli na pol. Dolžina apoteme je polovica kotangensa , ploščina vsakega od 14-ih majhnih trikotnikov je 1/4 dolžine apoteme.

    Točen algebrski izraz prek polinoma (ena od njegovih ničel je )[1]:186–187 je dan z:

    kjer je imaginarna enota.

    Ploščina pravilnega sedemkotnika s polmerom očrtane krožnice je:

    Ploščina očrtanega kroga je , tako da ga pravilni sedemkotnik napolni približno za vrednost:

    Konstrukcija

    Pravilnega sedemkotnika se ne da skonstruirati z ravnilom in šestilom. Obstaja pa več približnih geometrijskih konstrukcij.

    Simetrija

    Simetrije pravilnega sedemkotnika. Oglišča so pobarvana glede na njihove simetrijske lege. Modre premice zrcaljenj so narisane skozi oglišča in stranice. Redi giracij so podani v središču.

    Pravilni sedemkotnik ima simetrijo Dih7, reda 14. Ker je 7 praštevilo, obstaja ena podgrupa z diedrsko simetrijo: Dih1, in 2 simetriji ciklične grupe: Z7 in Z1.

    Te 4 simetrije se lahko vidijo v 4-h različnih simetrijah sedemkotnika. Conway jih je označil s črko in z redom grupe.[2] Polna simetrija pravilne oblike je r14 in nobena simetrija ni označena z a1. Diedrske simetrije so razdeljene glede na to ali potekajo skozi oglišča (d za diagonalo) ali stranice (p za pravokotnice), in i kadar premice zrcaljenj potekajo skozi oglišča in stranice. Ciklične simetrije v srednjem stolpcu so označene z g za njihove središčne redove giracij.

    Vsaka simetrija podgrupe dovoljuje eno ali več prostostnih stopenj za nepravilne oblike. Le podgrupa g7 nima prostostnih stopenj in se jo ima lahko za usmerjene stranice.

    Pokritja

    Najgostejše znano pokritje evklidske ravnine s sedemkotniki, ki so usmerjeni na dva načina (obarvano različno). Tapetna grupa takšnega pokritja je pmg (22*)
    Poincaréjev krožni model sedemkotniškega pokritja hiperbolične ravnine

    Sedemkotnik pravilno ne pokrije evklidske ravnine v celoti in največja gostota pokritja je enaka:[3]

    Sedemkotnik lahko pokrije hiperbolično ravnino, kot je razvidno v Poincaréjevem krožnem modelu.

    Galerija

    Glej tudi

    Sklici

    Viri

    • Baez, John Carlos (2014-11-15), "Packing Regular Heptagons", blogs.ams.org (angleščina), pridobljeno dne 2016-06-08
    • Conway, John Horton; Burgiel, Heidi; Goodman-Strauss, Chaim (2008), "20, Generalized Schaefli symbols, Types of symmetry of a polygon", The Symmetries of Things, str. 275–278, COBISS 29751813, ISBN 978-1-56881-220-5
    • Gleason, Andrew Mattei (1988–03), "Angle trisection, the heptagon, and the triskaidecagon" (PDF), The American Mathematical Monthly, 95: 185–194CS1 vzdrževanje: Date format (link)

    Zunanje povezave