Išči

    Trikotnik

    Trikotnik

    Trikotnik je eden osnovnih geometrijskih likov. Trikotnik je dvorazsežni lik s tremi oglišči in s tremi stranicami, ki so odseki treh premic. Običajno z izrazom trikotnik mislimo na ravninski lok. Na sferi govorimo npr. o sfernem trikotniku.

    Vsebina

    Vrste trikotnikov

    Trikotnike lahko razdelimo glede na dolžine stranic. Tako imamo:

    Trikotnike lahko razdelimo tudi glede na velikost največjega notranjega kota. Imamo:

    notranji koti skupaj merijo 180˙zunanji koti pa merijo skupaj 360˙

    Višina

    Višina na stranico je oddaljenost oglišča od nosilke nasprotne stranice.

    Obseg

    Obseg je skupna dolžina vseh treh stranic:

    V nekaterih zvezah se uporablja tudi polovični obseg (polobseg), ki je označen s črko s:

    Ploščina

    Ploščina trikotnika je enaka polovični ploščini paralelograma, katerega nevzporedni stranici sta dve od trikotnikovih stranic.

    Lahko jo izračunamo tudi s Heronovo enačbo:

    Če poznamo vse tri notranje kote ali vse tri stranice ter polmer včrtane ali očrtane krožnice (gl. enega nadaljnjih razdelkov), jo lahko izračunamo kot:

    Če so koordinate točk A, B in C v pravokotnem koordinatnem sistemu enake , in , se ploščina izračuna kot:

    Negativna vrednost izraza pod absolutno vrednostjo pomeni, da je usmerjenost trikotnika negativna.

    Usmerjenost trikotnika

    Če si oglišča A, B in C v tem zaporedju sledijo v smeri, ki je nasprotna smeri urinega kazalca, je trikotnik pozitivno usmerjen, v nasprotnem primeru je usmerjen negativno.

    Notranji koti

    V vsakem ravninskem trikotniku je vsota notranjih kotov enaka iztegnjenemu kotu:

    Trikotniška neenakost

    V vsakem neizrojenem ravninskem trikotniku velja trikotniška neenakost, ki pravi, da je vsota dolžin katerihkoli dveh stranic večja od dolžine tretje stranice. Torej:

    Tri posebne točke trikotnika

    Posebne točke trikotnika: središče očrtane in včrtane krožnice, težišče

    Trikotnik ima tri klasične posebne točke:

    Polmer očrtane in včrtane krožnice

    Polmer očrtane krožnice lahko izračunamo tako:

    Polmer včrtane krožnice pa tako:

    Za razdaljo d med središčema očrtane in vrčrtane krožnice velja Eulerjeva trikotniška enačba:

    Druge točke trikotnika

    Višinska točka je v sečišču višin vseh treh stranic.

    Razpolovišča stranic in končne točke višin ležijo na krožnici, ki se imenuje krožnica devetih točk ali Eulerjeva krožnica. Njen polmer je enak polovici polmera očrtane krožnice in se dotika včrtane krožnice v Feuerbachovi točki in treh zunanjih krožnic.

    Težišče, središče očrtane krožnice, višinska točka in središče krožnice devetih točk so kolinearne in ležijo na Eulerjevi premici. Središče krožnice devetih točk leži na polovici med središčem včrtane in očrtane krožnice. Razdalja med težiščem T in središčem očrtane krožnice je enaka polovici razdalje med težiščem in višinsko točko V in velja:

    Izreki v trikotniku

    Zveze med stranicami in koti urejajo naslednji izreki:

    Drugi izreki v zvezi s trikotniki:

    - trikotnik in prečnica:

    Zunanje povezave