Išči

    Uniformni polieder

    Uniformni polieder je polieder, ki ima za stranske ploskve pravilne mnogokotnike, ki so prehodni na svojih ogliščih (to pomeni, da obstaja togi premik (izometrija) za preslikavo poljubnega oglišča v drugega). To pomeni tudi, da so vsa oglišča skladna. Poliedri imajo visoko stopnjo zrcalne in rotacijske simetrije.

    Uniformni poliedri so lahko:

    • pravilni, če so stranske ploskve in robovi prehodni
    • kvazipravilni, če so robovi prehodni, niso pa prehodne stranske ploskve
    • polpravilni pa so, če robovi niso prehodni, niti stranske ploskve niso prehodne.

    Poznamo konveksne:

    in zvezdne poliedre od katerih so:

    Znanih je tudi neskončno število uniformnih prizmatičnih in antiprizmatičnih oblik med katerimi so konveksne in zvezdne oblike.

    Dualni poliedri uniformnih poliedrov imajo prehodne stranske ploskve ali lahko rečemo tudi, da so izoedrski. Imajo tudi pravilne slike oglišč ter jih tako razvrstimo skupaj z dualnimi uniformnimi poliedri. Dualno telo pravilnega poliedra je tudi pravilen. Dualna telesa arhimedskih teles pa pravimo, da so Catalanova telesa.

    Vsebina

    Razvoj

    Platonska telesa so poznali že v Antični Grčiji. Proučevali so jih že Platon (427 pr. n. št–437 pr. n. št., Teetet (417 pr. n. št.–369 pr. n. št.) in Evklid (okoli 365 pr. n. št.–275 pr. n. št.).

    Pravilni zvezdni poliedri:

    Pozneje (v letu 1809) je Louis Poinsot (1777–1859) odkril še dva.

    Ostalih 53 nepravilnih zvezdnih poliedrov

    Uniformni zvezdni poliedri

    57 neprizmatičnih nekonveksnih oblik se dobi s pomočjo Wythoffove konstrukcije in s pomočjo Schwarzevih trikotnikov

    Konveksne oblike po Wythoffovi konstrukciji

    Konveksne uniformne poliedre lahko imenujemo po operacijah Wythoffove konstrukcije.

    Podrobnejši načini Wythoffove konstrukcije so podani spodaj za vsako simetrijsko grupo posebej.

    Z Wythoffovo konstrukcijo se dobijo ponovitve, ki nastanejo zaradi oblike z najnižjo simetrijo. Kocka in kvadratna prizma sta pravilna poliedra. Oktaeder in tristrana antiprizma sta tudi pravilna poliedra. Oktaeder je rektificirani tetraeder. Mnogi poliedri so ponovitve začetnih različnih konstrukcij in se jih različno obarva.

    Wythoffova konstrukcija se lahko uporabi za uniformne poliedre in uniformno tlakovanje na sferi. Zaradi tega so prikazane slike obeh možnosti. Sferno tlakovanje vključuje hozoedre in diedre, ki pa so degenerirani poliedri.

    Te simetrijske grupe nastajajo iz zrcalnih točkovnih grup v treh razsežnostih. Vsako lahko prikažemo z osnovnim trikotnikom (p q r), kjer je p>1, q>1, r>1 in 1/p+1/q+1/r<1.

    Ostale nezrcalne oblike se lahko konstruira s pomočjo operacije alternacije, ki jo uporabimo za poliedre s parnim številom stranic.

    Razen vseh prizem z diedrsko simetrijo nam lahko postopek Wythoffove konstrukcije doda še dva pravilna razreda, ki pa postaneta izrojena kot poliedra. To sta dieder in hozoeder. Prvi ima samo dve stranski ploskvi, drugo pa samo dve oglišči. Prisekanje hozoedra nam da prizmo.

    V spodnjem pregledu imajo uniformni poliedri oznake (indekse) od 1 do 18 za neprizmatične oblike, ker so predstavljeni v pregledih s simetrijsko obliko. Ponovljene oblike so v oklepajih.

    Neskončna množica prizmatičnih oblik je označena s štirimi družinami:

    1. hozoedri H2... samo kot sferno tlakovanje
    2. diedri D2... samo kot sferno tlakovanje
    3. prizme P2...
    4. antiprizme A3...

    Skupna preglednica

    Johnsonovo ime Starševsko telo Prisekano Rektificirano Biprisekano Birektificirano Kantelirano Omniprisekano
    (kantiprisekano

    )

    Prirezano
    Razširjen
    Schläflijev simbol
    t0{p,q} t0,1{p,q} t1{p,q} t1,2{p,q} t2{p,q} t0,2{p,q} t0,1,2{p,q} s{p,q}
    Wythoffov simbol
    p-q-2
    q | p 2 2 q | p 2 | p q 2 p | q p | q 2 p q | 2 p q 2 | | p q 2
    Coxeter-Dinkinov diagram CDel node 1.pngCDel p.pngCDel node.pngCDel q.pngCDel node.png CDel node 1.pngCDel p.pngCDel node 1.pngCDel q.pngCDel node.png CDel node.pngCDel p.pngCDel node 1.pngCDel q.pngCDel node.png CDel node.pngCDel p.pngCDel node 1.pngCDel q.pngCDel node 1.png CDel node.pngCDel p.pngCDel node.pngCDel q.pngCDel node 1.png CDel node 1.pngCDel p.pngCDel node.pngCDel q.pngCDel node 1.png CDel node 1.pngCDel p.pngCDel node 1.pngCDel q.pngCDel node 1.png CDel node h.pngCDel p.pngCDel node h.pngCDel q.pngCDel node h.png
    Slika oglišča pq (q.2p.2p) (p.q.p.q) (p. 2q.2q) qp (p. 4.q.4) (4.2p.2q) (3.3.p. 3.q)
    tetraedrska
    3-3-2
    Uniform polyhedron-33-t0.png
    {3,3}
    Uniform polyhedron-33-t01.png
    (3.6.6)
    Uniform polyhedron-33-t1.png
    (3.3.3.3)
    Uniform polyhedron-33-t12.png
    (3.6.6)
    Uniform polyhedron-33-t2.png
    {3,3}
    Uniform polyhedron-33-t02.png
    (3.4.3.4)
    Uniform polyhedron-33-t012.png
    (4.6.6)
    Uniform polyhedron-33-s012.svg
    (3.3.3.3.3)
    oktaedrska
    4-3-2
    Uniform polyhedron-43-t0.svg
    {4,3}
    Uniform polyhedron-43-t01.svg
    (3.8.8)
    Uniform polyhedron-43-t1.svg
    (3.4.3.4)
    Uniform polyhedron-43-t12.svg
    (4.6.6)
    Uniform polyhedron-43-t2.svg
    {3,4}
    Uniform polyhedron-43-t02.png
    (3.4.4.4)
    Uniform polyhedron-43-t012.png
    (4.6.8)
    Uniform polyhedron-43-s012.png
    (3.3.3.3.4)
    ikozaedrska
    5-3-2
    Uniform polyhedron-53-t0.png
    {5,3}
    Uniform polyhedron-53-t01.png
    (3.10.10)
    Uniform polyhedron-53-t1.png
    (3.5.3.5)
    Uniform polyhedron-53-t12.png
    (5.6.6)
    Uniform polyhedron-53-t2.png
    {3,5}
    Uniform polyhedron-53-t02.png
    (3.4.5.4)
    Uniform polyhedron-53-t012.png
    (4.6.10)
    Uniform polyhedron-53-s012.png
    (3.3.3.3.5)

    in primeri diedrskih simetrij:

    (p 2 2) Starševsko telo Prisekano Rektificirano Biprisekano Birektificirano Kantelirano Omniprisekano
    (kantiprisekano)
    Prirezano
    Razširjen
    Schläflijev simbol
    t0{p,2} t0,1{p,2} t1{p,2} t1,2{p,2} t2{p,2} t0,2{p,2} t0,1,2{p,2} s{p,2}
    Wythoffov simbol 2 | p 2 2 2 | p 2 | p 2 2 p | 2 p | 2 2 p 2 | 2 p 2 2 | | p 2 2
    Coxeter-Dinkinov diagram CDel node 1.pngCDel p.pngCDel node.pngCDel 2.pngCDel node.png CDel node 1.pngCDel p.pngCDel node 1.pngCDel 2.pngCDel node.png CDel node.pngCDel p.pngCDel node 1.pngCDel 2.pngCDel node.png CDel node.pngCDel p.pngCDel node 1.pngCDel 2.pngCDel node 1.png CDel node.pngCDel p.pngCDel node.pngCDel 2.pngCDel node 1.png CDel node 1.pngCDel p.pngCDel node.pngCDel 2.pngCDel node 1.png CDel node 1.pngCDel p.pngCDel node 1.pngCDel 2.pngCDel node 1.png CDel node h.pngCDel p.pngCDel node h.pngCDel 2x.pngCDel node h.png
    Slika oglišča p2 (2.2p.2p) (p. 2.p. 2) (p. 4.4) 2p (p. 4.2.4) (4.2p.4) (3.3.p. 3.2)
    diedrska
    (2 2 2)
    Digonal dihedron.png
    {2,2}
    2.4.4 Digonal dihedron.png
    2.2.2.2

    4.4.2
    Digonal dihedron.png
    {2,2}
    2.4.2.4 Tetragonal prism.png
    4.4.4
    Linear antiprism.png
    3.3.3.2
    diedrska
    (3 2 2)
    Trigonal dihedron.png
    {3,2}
    Hexagonal dihedron.png
    2.6.6
    2.3.2.3 Triangular prism.png
    4.4.3
    Trigonal hosohedron.png
    {2,3}
    2.4.3.4 Spherical truncated trigonal prism.png
    4.4.6
    Trigonal antiprism.png
    3.3.3.3
    diedrska
    (4 2 2)
    {4,2} 2.8.8 2.4.2.4 Tetragonal prism.png
    4.4.4
    4hosohedron.svg
    {2,4}
    2.4.4.4 Octagonal prism.png
    4.4.8
    Square antiprism.png
    3.3.3.4
    diedrska
    (5 2 2)
    {5,2} 2.10.10 2.5.2.5 Pentagonal prism.png
    4.4.5
    {2,5} 2.4.5.4 Decagonal prism.png
    4.4.10
    Pentagonal antiprism.png
    3.3.3.5
    diedrska
    (6 2 2)
    Hexagonal dihedron.png
    {6,2}
    Dodecagonal dihedron.png
    2.12.12
    Hexagonal dihedron.png
    2.6.2.6
    Spherical hexagonal prism.png
    4.4.6
    Hexagonal hosohedron.png
    {2,6}
    Spherical truncated trigonal prism.png
    2.4.6.4
    Spherical truncated hexagonal prism.png
    4.4.12
    Spherical hexagonal antiprism.png
    3.3.3.6

    Operatorji za Wythoffovo konstrukcijo

    Wythoffian construction diagram sl.png Polyhedron truncation example3 sl.png
    Zgledi za oblike od kocke do oktaedra
    Operacija Razširjeni
    Schläflijevi simboli
    Coxeter-
    Dinkinov
    diagram
    Opis
    Starševsko telo t0{p,q} CDel node 1.pngCDel p.pngCDel node.pngCDel q.pngCDel node.png za poljubni pravilni polieder ali tlakovanje
    Rektifikacija t1{p,q} CDel node.pngCDel p.pngCDel node 1.pngCDel q.pngCDel node.png Robovi so popolnima prirezani v točke. Poliedri imajo kombinirane stranske ploskve svojega starševskega telesa in njegovega duala.
    Birektifikacija
    tudi dual
    t2{p,q} CDel node.pngCDel p.pngCDel node.pngCDel q.pngCDel node 1.png
    Dual Cube-Octahedron.svg
    Birektificiranost (tudi za dual) je nadaljevanje prisekanja tako, da so prvotne stranske ploskve zmanjšane do točk. Nove stranske ploskve nastanejo pod vsakim starševskim ogliščem. Število robov ostane nespremenjeno in se zavrti za 90º. Dualno telo pravilnega poliedra {p, q} je tudi pravilni polieder {q, p}.
    Prisekanost t0,1{p,q} CDel node 1.pngCDel p.pngCDel node 1.pngCDel q.pngCDel node.png Vsako prvotno oglišče je odrezano, z nastankom nove stranske ploskve se izpopolni praznina. Prisekanje ima prostostno stopnjo, ki ima rešitev za kreiranje uniformnega prisekanega poliedra. Polieder ima svoje prvotne stranske ploskve podvojene ter vsebuje stranske ploskve duala.
    Cube truncation sequencexx.svg
    Biprisekanost t1,2{p,q} CDel node.pngCDel p.pngCDel node 1.pngCDel q.pngCDel node 1.png isto kot prisekani dual.
    Kanteliranost
    (ali rombiranost)
    (tudi razširjenost)
    t0,2{p,q} CDel node 1.pngCDel p.pngCDel node.pngCDel q.pngCDel node 1.png Razen prisekanja oglišč je vsak prvotni rob nagnjen zaradi novega pravokotne stranske ploskve, ki se pojavi namesto njega. Uniformna kantelacija je približno na polovici med starševsko in dualno obliko.
    Cube cantellation sequence sl.svg
    Omniprisekanost
    (ali kantiprisekanost)
    t0,1,2{p,q} CDel node 1.pngCDel p.pngCDel node 1.pngCDel q.pngCDel node 1.png Prisekanost in kantelacija sta uporabljeni skupaj, da bi ustvarili omniprisekano obliko, ki podvoji stranice stranskih ploskev starševskega telesa in podvoji stranice stranskih ploskev ter kvadratov, kjer so bili prvotni robovi.
    Prirezanost s{p,q} CDel node h.pngCDel p.pngCDel node h.pngCDel q.pngCDel node h.png Prirezane oblike zavzamejo omniprisekanost in pri tem rektificirajo vsako drugo oglišče. (ta operacije je možna samo, če ima polieder parno število stranskih ploskev) Vse prvotne stranske ploskve končajo tako, da dobimo samo polovico stranic, kvadrati pa se izrodijo v robove. Ker ima omniprisekana oblika 3 stranske ploskve/oglišče nastanejo novi trikotniki. Pogosto je to izmenično facetiranje popačeno, tako, da se konča kot uniformni poliedri. Možnost kasnejših sprememb je odvisna od stopnje prostosti.
    Snubcubes in grCO sl.svg

    (3 3 2) Td tetraedrska simetrija

    Tetraedrska simetrija sfere generira 5 uniformnih poliedrov in šesto obliko s pomočjo operacije prirezovanja.

    Tetraedrsko simetrijo lahko prikažemo s pomočjo osnovnega trikotnika z enim ogliščem s tremi zcali, ki jih prikažemo s simbolom (3 3 2). Lahko jih tudi prikažemo s Coxeterjevo grupo A2 or [3,3] in seveda s Coxeter-Dinkinovim diagramom: CDel node.pngCDel 3.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel node.png.

    Obstaja 24 trikotnikov, ki jih vidimo na stranskih ploskvah tetrakisnega heksaedra in izmenoma pobarvanih trikotnikih na sferi:

    Tetrakishexahedron.jpg Tetrahedral reflection domains.pngSphere symmetry group td.png
    # Ime Graf
    A3
    Graf
    A2
    Slika Tlakovanje Oglišč
    slika
    Coxeter-Dinkinov diagram
    in Schläflijevi simboli
    Število stranskih ploskev po položaju Število elementov
    položaj 2
    CDel node.pngCDel 3.pngCDel node.png
    [3]
    (4)
    položaj 1
    CDel node.pngCDel 2.pngCDel node.png
    [2]
    (6)
    položaj 0
    CDel 2.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel node.png
    [3]
    (4)
    Stranske ploskve Robovi Oglišča
    1 tetraeder (tet) 3-simplex t0.svg 3-simplex t0 A2.svg Uniform polyhedron-33-t0.png Uniform tiling 332-t0-1-.png Tetrahedron vertfig.png CDel node 1.pngCDel 3.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel node.png
    {3,3}
    Regular polygon 3.svg
    {3}
    4 6 4
    [1] birektificiran tetraeder (tet)
    (isto kot tetraeder)
    3-simplex t0.svg 3-simplex t0 A2.svg Uniform polyhedron-33-t2.png Uniform tiling 332-t2.png Tetrahedron vertfig.png CDel node.pngCDel 3.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel node 1.png
    t2{3,3}
    Regular polygon 3.svg
    {3}
    4 6 4
    2 rektificiran tetraeder (oct)
    (isto kot oktaeder)
    3-simplex t1.svg 3-simplex t1 A2.svg Uniform polyhedron-33-t1.png Uniform tiling 332-t1-1-.png Octahedron vertfig.png CDel node.pngCDel 3.pngCDel node 1.pngCDel 3.pngCDel node.png
    t1{3,3}
    Regular polygon 3.svg
    {3}
    Regular polygon 3.svg
    {3}
    8 12 6
    3 prisekani tetraeder (tut) 3-simplex t01.svg 3-simplex t01 A2.svg Uniform polyhedron-33-t01.png Uniform tiling 332-t01-1-.png Truncated tetrahedron vertfig.png CDel node 1.pngCDel 3.pngCDel node 1.pngCDel 3.pngCDel node.png
    t0,1{3,3}
    Regular polygon 6.svg
    {6}
    Regular polygon 3.svg
    {3}
    8 18 12
    [3] biprisekani tetraeder (tut)
    (isto kot prisekani tetraeder)
    3-simplex t01.svg 3-simplex t01 A2.svg Uniform polyhedron-33-t12.png Uniform tiling 332-t12.png Truncated tetrahedron vertfig.png CDel node.pngCDel 3.pngCDel node 1.pngCDel 3.pngCDel node 1.png
    t1,2{3,3}
    Regular polygon 3.svg
    {3}
    Regular polygon 6.svg
    {6}
    8 18 12
    4 kanteliran tetraeder (co)
    (isto kot kubooktaeder)
    3-simplex t02.svg 3-simplex t02 A2.svg Uniform polyhedron-33-t02.png Uniform tiling 332-t02.png Cuboctahedron vertfig.png CDel node 1.pngCDel 3.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel node 1.png
    t0,2{3,3}
    Regular polygon 3.svg
    {3}
    Regular polygon 4.svg
    {4}
    Regular polygon 3.svg
    {3}
    14 24 12
    5 omniprisekani tetraeder (toe)
    (isto kot prisekani oktaeder)
    3-simplex t012.svg 3-simplex t012 A2.svg Uniform polyhedron-33-t012.png Uniform tiling 332-t012.png Truncated octahedron vertfig.png CDel node 1.pngCDel 3.pngCDel node 1.pngCDel 3.pngCDel node 1.png
    t0,1,2{3,3}
    Regular polygon 6.svg
    {6}
    Regular polygon 4.svg
    {4}
    Regular polygon 6.svg
    {6}
    14 36 24
    6 prirezana kocka (ike)
    (isto kot ikozaeder)
    Icosahedron graph A3.png Icosahedron graph A2.png Uniform polyhedron-33-s012.png Spherical snub tetrahedron.png Icosahedron vertfig.png CDel node h.pngCDel 3.pngCDel node h.pngCDel 3.pngCDel node h.png
    s{3,3}
    Regular polygon 3.svg
    {3}
    Regular polygon 3.svgRegular polygon 3.svg
    2 {3}
    Regular polygon 3.svg
    {3}
    20 30 12

    (4 3 2) Oh oktaedrska simetrija

    Oktaedrska simetrija sfere generira 7 uniformnih poliedrov in še tri z alternacijo. Štirje od teh oblik so ponovitve tetraedrske simetrije iz preglednice zgoraj.

    Oktaedrsko simetrijo se lahko prikaže s pomočjo osnovnega trikotnika (4 3 2) tako, da se upošteva zrcala na vsakem oglišču. Lahko se jih prikaže tudi kot Coxeterjevo grupo B2 ali [4,3] in kot Coxeter-Dinkinov diagram: CDel node.pngCDel 4.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel node.png.

    Obstaja 48 trokotnikv, ki se jih vidi na stranskih ploskvah disdiakisnega dodekaedra in izmenoma pobarvanih trikotnikov na sferi:

    Disdyakisdodecahedron.jpg Octahedral reflection domains.pngSphere symmetry group oh.png
    # Ime Graf
    B3
    Graf
    B2
    Slika Tlakovanje Slika
    oglišč
    Coxeter-Dinkinov diagram
    in Schläflijevi simboli
    Število stranskih ploskev po položaju Število elementov
    položaj 2
    CDel node.pngCDel 4.pngCDel node.pngCDel 2.png
    [4]
    (8)
    položaj 1
    CDel node.pngCDel 2.pngCDel 2.pngCDel node.png
    [2]
    (12)
    položaj 0
    CDel 2.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel node.png
    [3]
    (6)
    Stranske ploskve Robovi Oglišča
    7 kocka (kocka) 3-cube t0.svg 3-cube t0 B2.svg Uniform polyhedron-43-t0.png Uniform tiling 432-t0.png Cube vertfig.png CDel node 1.pngCDel 4.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel node.png
    {4,3}
    Regular polygon 4.svg
    {4}
    6 12 8
    [2] oktaeder (oct) 3-cube t2.svg 3-cube t2 B2.svg Uniform polyhedron-43-t2.png Uniform tiling 432-t2.png Octahedron vertfig.png CDel node.pngCDel 4.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel node 1.png
    {3,4}
    Regular polygon 3.svg
    {3}
    8 12 6
    [4] rektificirana kocka (co)
    rektificiran oktaeder
    (kubooktaeder)
    3-cube t1.svg 3-cube t1 B2.svg Uniform polyhedron-43-t1.png Uniform tiling 432-t1.png Cuboctahedron vertfig.png CDel node.pngCDel 4.pngCDel node 1.pngCDel 3.pngCDel node.png
    {4,3}
    Regular polygon 4.svg
    {4}
    Regular polygon 3.svg
    {3}
    14 24 12
    8 prisekana kocka (tic) 3-cube t01.svg 3-cube t01 B2.svg Uniform polyhedron-43-t01.png Uniform tiling 432-t01.png Truncated cube vertfig.png CDel node 1.pngCDel 4.pngCDel node 1.pngCDel 3.pngCDel node.png
    t0,1{4,3}
    Regular polygon 8.svg
    {8}
    Regular polygon 3.svg
    {3}
    14 36 24
    [5] prisekani oktaeder (toe) 3-cube t12.svg 3-cube t12 B2.svg Uniform polyhedron-43-t12.png Uniform tiling 432-t12.png Truncated octahedron vertfig.png CDel node.pngCDel 4.pngCDel node 1.pngCDel 3.pngCDel node 1.png
    t0,1{3,4}
    Regular polygon 4.svg
    {4}
    Regular polygon 6.svg
    {6}
    14 36 24
    9 kantelirana kocka (sirco)
    kanteliran oktaeder
    rombikubooktaeder
    3-cube t02.svg 3-cube t02 B2.svg Uniform polyhedron-43-t02.png Uniform tiling 432-t02.png Small rhombicuboctahedron vertfig.png CDel node 1.pngCDel 4.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel node 1.png
    t0,2{4,3}
    Regular polygon 8.svg
    {8}
    Regular polygon 4.svg
    {4}
    Regular polygon 6.svg
    {6}
    26 48 24
    10 omniprisekana kocka (girco)
    omniprisekani oktaeder
    prisekani kubooktaeder
    3-cube t012.svg 3-cube t012 B2.svg Uniform polyhedron-43-t012.png Uniform tiling 432-t012.png Great rhombicuboctahedron vertfig.png CDel node 1.pngCDel 4.pngCDel node 1.pngCDel 3.pngCDel node 1.png
    t0,1,2{4,3}
    Regular polygon 8.svg
    {8}
    Regular polygon 4.svg
    {4}
    Regular polygon 6.svg
    {6}
    26 72 48
    [6] alternirani prisekani oktaeder (ike)
    (isto kot ikozaeder)
    3-cube h01.svg 3-cube h01 B2.svg Uniform polyhedron-43-h01.png Spherical alternated truncated octahedron.png Icosahedron vertfig.png CDel node.pngCDel 4.pngCDel node h.pngCDel 3.pngCDel node h.png
    h0,1{3,4}
    Regular polygon 3.svg
    {3}
    Regular polygon 3.svg
    {3}
    20 30 12
    [1] alternirana kocka (tet)
    (isto kot tetraeder)
    3-simplex t0 A2.svg 3-simplex t0.svg Uniform polyhedron-33-t2.png Uniform tiling 332-t2.png Tetrahedron vertfig.png CDel node h.pngCDel 4.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel node.png
    h{4,3}
    Regular polygon 3.svg
    1/2 {3}
    4 6 4
    11 prirezana kocka (snic) Snub cube A2.png Snub cube B2.png Uniform polyhedron-43-s012.png Spherical snub cube.png Snub cube vertfig.png CDel node h.pngCDel 4.pngCDel node h.pngCDel 3.pngCDel node h.png
    s{4,3}
    Regular polygon 4.svg
    {4}
    Regular polygon 3.svgRegular polygon 3.svg
    2 {3}
    Regular polygon 3.svg
    {3}
    38 60 24

    (5 3 2) Ih ikozaedrska simetrija

    Ikozaedrska simetrija sfere generira 7 uniformnih poliedrov in še enega več z alternacijo. Samo eden se ponavlja v preglednici s tetraedrsko in oktaedrsko simetrijo v preglednici zgoraj.

    Ikozaedrsko simetrijo lahko prikažemo z osnovnim trikotnikom (5 3 2), pri tem pa štejemo zrcala na vsakem oglišču. Lahko ga prikažemo tudi s pomočjo Coxeterjeve grupe G2 ali [5,3] s pomočjo Coxeter-Dinkinovega diagrama: CDel node.pngCDel 5.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel node.png.

    Obstaja 120 trikotnikov, ki jih vidimo na stranskih ploskvah disdiakisni triakontaeder in na izmenoma pobarvanih trikotnikih na sferi:

    Disdyakistriacontahedron.jpg Icosahedral reflection domains.pngSphere symmetry group ih.png
    # Ime Graf
    (A2)
    [6]
    Graf
    (H3)
    [10]
    Slika tlakovanje slika
    oglišč
    Coxeter-Dinkinov diagram
    in Schläflijevi simboli
    Število stranskih ploskev po položaju Število elementov
    položaj 2
    CDel node.pngCDel 5.pngCDel node.pngCDel 2.png
    [5]
    (12)
    položaj 1
    CDel node.pngCDel 2.pngCDel node.png
    [2]
    (30)
    položaj 0
    CDel 2.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel node.png
    [3]
    (20)
    Stranske ploskve Robovi Oglišča
    12 dodekaeder (doe) Dodecahedron t0 A2.png Dodecahedron t0 H3.png Uniform polyhedron-53-t0.png Uniform tiling 532-t0.png Dodecahedron vertfig.png CDel node 1.pngCDel 5.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel node.png
    {5,3}
    Regular polygon 5.svg
    {5}
    12 30 20
    [6] ikozaeder (ike) Icosahedron t0 A2.png Icosahedron t0 H3.png Uniform polyhedron-53-t2.png Uniform tiling 532-t2.png Icosahedron vertfig.png CDel node.pngCDel 5.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel node 1.png
    {3,5}
    Regular polygon 3.svg
    {3}
    20 30 12
    13 rektificirani dodekaeder (id)
    rektificirani ikozaeder
    ikozidodekaeder
    Dodecahedron t1 A2.png Dodecahedron t1 H3.png Uniform polyhedron-53-t1.png Uniform tiling 532-t1.png Icosidodecahedron vertfig.png CDel node.pngCDel 5.pngCDel node 1.pngCDel 3.pngCDel node.png
    t1{5,3}
    Regular polygon 5.svg
    {5}
    Regular polygon 3.svg
    {3}
    32 60 30
    14 prisekani dodekaeder (tid) Dodecahedron t01 A2.png Dodecahedron t01 H3.png Uniform polyhedron-53-t01.png Uniform tiling 532-t01.png Truncated dodecahedron vertfig.png CDel node 1.pngCDel 5.pngCDel node 1.pngCDel 3.pngCDel node.png
    t0,1{5,3}
    Regular polygon 5.svg
    {10}
    Regular polygon 3.svg
    {3}
    32 90 60
    15 prisekani ikozaeder (ti) Icosahedron t01 A2.png Icosahedron t01 H3.png Uniform polyhedron-53-t12.png Uniform tiling 532-t12.png Truncated icosahedron vertfig.png CDel node.pngCDel 5.pngCDel node 1.pngCDel 3.pngCDel node 1.png
    t0,1{3,5}
    Regular polygon 5.svg
    {5}
    Regular polygon 6.svg
    {6}
    32 90 60
    16 kantelirani dodekaeder (srid)
    kanteliran ikozaeder
    rombiikozidodekaeder
    Dodecahedron t02 A2.png Dodecahedron t02 H3.png Uniform polyhedron-53-t02.png Uniform tiling 532-t02.png Small rhombicosidodecahedron vertfig.png CDel node 1.pngCDel 5.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel node 1.png
    t0,2{5,3}
    Regular polygon 5.svg
    {5}
    Regular polygon 4.svg
    {4}
    Regular polygon 3.svg
    {3}
    62 120 60
    17 Omniprisekani dodekaeder (grid)
    Omniprisekani ikozaeder
    prisekani ikozidodekaeder
    Dodecahedron t012 A2.png Dodecahedron t012 H3.png Uniform polyhedron-53-t012.png Uniform tiling 532-t012.png Great rhombicosidodecahedron vertfig.png CDel node 1.pngCDel 5.pngCDel node 1.pngCDel 3.pngCDel node 1.png
    t0,1,2{5,3}
    Regular polygon 10.svg
    {10}
    Regular polygon 4.svg
    {4}
    Regular polygon 6.svg
    {6}
    62 180 120
    18 prirezani dodekaeder (snid)
    prirezani ikozaeder
    Snub dodecahedron A2.png Snub dodecahedron H2.png Uniform polyhedron-53-s012.png Spherical snub dodecahedron.png Snub dodecahedron vertfig.png CDel node h.pngCDel 5.pngCDel node h.pngCDel 3.pngCDel node h.png
    s{5,3}
    Regular polygon 5.svg
    {5}
    Regular polygon 3.svgRegular polygon 3.svg
    2 {3}
    Regular polygon 3.svg
    {3}
    92 150 60

    (p 2 2) Prizmatična družina [p,2], I2(p) (Dph diedrska simetrija)

    Diedrska simetrija sfere generira dve neskončni množici uniformnih poliedrov, prizem in antiprizem, prav tako pa tudi neskončno množico izrojenih mnogokotnikov, hozoedrov in diedrov, ki obstajajo kot tlakovanja sfere. Diedrska simetrija se lahko prikaže kot onovni trikotnik (p 2 2) s tem, da upoštevamo zrcala na vsakem oglišču. Lahko se prikaže tudi kot Coxeterjeva grupa I2(p) or [n,2], in tudi kot prizmatični Coxeter-Dinkinov diagram: CDel node.pngCDel p.pngCDel node.pngCDel 2.pngCDel node.png.

    Spodaj je prvih pet diedrskih simetrij: D2 ... D6. Diedrska simetrija Dp ima red 4n, ki se kaže na stranskih ploskvah bipiramide in na sferi kot ekvatorska črta na longitudi in n enakomerno razmaknjenih črt longitude.

    (2 2 2) diedrska simetrija

    Obstaja 8 osnovnih trikotnikov, ki se vidijo na stranskih ploskvah kvadratne bipiramide (oktaeder), ki ima imenoma obarvane trikotnike na sferi:

    Octahedron.svg Sphere symmetry group d2h.png
    # Ime Slika Tlakovanje Slika
    oglišč
    Coxeter-Dinkinov diagram
    in Schläflijevi simboli
    Število stranskih ploskev po položaju Število elementov
    položaj 2
    CDel node.pngCDel 2.pngCDel node.pngCDel 2.png
    [2]
    (2)
    položaj 1
    CDel node.pngCDel 2.pngCDel node.png
    [2]
    (2)
    položaj 0
    CDel 2.pngCDel node.pngCDel 2.pngCDel node.png
    [2]
    (2)
    Stranske ploskve Robovi Oglišča
    D2
    H2
    digonalni dieder
    digonalni hozoeder
    Digonal dihedron.png CDel node 1.pngCDel 2.pngCDel node.pngCDel 2.pngCDel node.png
    {2,2}
    Regular digon in spherical geometry-2.svg
    {2}
    2 2 2
    D4 prisekani digonalni dieder
    (isto kot kvadratni dieder)
    CDel node 1.pngCDel 2.pngCDel node 1.pngCDel 2.pngCDel node.png
    t{2,2}={4,2}
    Regular polygon 4.svg
    {4}
    2 4 4
    P4
    [7]
    omniprisekani digonalni dieder (kocka)
    (isto kot kocka)
    Uniform polyhedron 222-t012.png Cube vertfig.png CDel node 1.pngCDel 2.pngCDel node 1.pngCDel 2.pngCDel node 1.png
    t0,1,2{2,2}
    Regular polygon 4.svg
    {4}
    Regular polygon 4.svg
    {4}
    Regular polygon 4.svg
    {4}
    6 12 8
    A2
    [1]
    prirezani digonalni dieder (tet)
    (isto kot tetraeder)
    Uniform polyhedron-33-t2.png Tetrahedron vertfig.png CDel node h.pngCDel 2x.pngCDel node h.pngCDel 2x.pngCDel node h.png
    s{2,2}
    Regular polygon 3.svgRegular polygon 3.svg
    2 {3}
      4 6 4

    (3 2 2) D3hdiedrska simetrija

    Hexagonale bipiramide.png Sphere symmetry group d3h.png

    Obstaja 12 osnovnih trikotnikov, ki se vidijo na stranskih ploskvah šeststrane bipiramide ter izmenoma pobarvanih trikotnikih na sferi:

    # Ime Slika Tlakovanje Slika
    oglišč
    Coxeter-Dinkinov diagram
    in Schläflijevi simboli
    Število stranskih ploskev po položaju Število elementov
    položaj 2
    CDel node.pngCDel 3.pngCDel node.pngCDel 2.png
    [3]
    (2)
    položaj 1
    CDel node.pngCDel 2.pngCDel node.png
    [2]
    (3)
    položaj 0
    CDel 2.pngCDel node.pngCDel 2.pngCDel node.png
    [2]
    (3)
    Stranske ploskve Robovi Oglišča
    D3 trigonalni dieder Trigonal dihedron.png CDel node 1.pngCDel 3.pngCDel node.pngCDel 2.pngCDel node.png
    {3,2}
    Regular polygon 3.svg
    {3}
    2 3 3
    H3 trigonalni hozoeder Trigonal hosohedron.png CDel node.pngCDel 3.pngCDel node.pngCDel 2.pngCDel node 1.png
    {2,3}
    Regular digon in spherical geometry-2.svg
    {2}
    3 3 2
    D6 prisekani trigonalni dieder
    (isto kot heksagonalni dieder)
    Hexagonal dihedron.png CDel node 1.pngCDel 3.pngCDel node 1.pngCDel 2.pngCDel node.png
    t{3,2}
    Regular polygon 6.svg
    {6}
    2 6 6
    P3 prisekani trigonalni hozoeder (trip)
    (tristrana prizma)
    Triangular prism.png Triangular prism vertfig.png CDel node.pngCDel 3.pngCDel node 1.pngCDel 2.pngCDel node 1.png
    t{2,3}
    Regular polygon 3.svg
    {3}
    Regular polygon 4.svg
    {4}
    5 9 6
    P6 omniprisekani trigonalni dieder (hip)
    (šeststrana prizma)
    Hexagonal prism.png Hexagonal prism vertfig.png CDel node 1.pngCDel 3.pngCDel node 1.pngCDel 2.pngCDel node 1.png
    t{2,3}
    Regular polygon 6.svg
    {6}
    Regular polygon 4.svg
    {4}
    Regular polygon 4.svg
    {4}
    8 18 12
    A3
    [2]
    prirezani trigonalni dieder (oct)
    (isto kot tristrana antiprizma)
    (isto kot oktaeder)
    Trigonal antiprism.png Octahedron vertfig.png CDel node h.pngCDel 3.pngCDel node h.pngCDel 2x.pngCDel node h.png
    s{2,3}
    Regular polygon 3.svg
    {3}
    Regular polygon 3.svgRegular polygon 3.svg
    2 {3}
      8 12 6

    (4 2 2) D4hdiedrska simetrija

    Octagonal bipyramid.png Obstaja 16 osnovnih trikotnikov, ki se vidijo na stranskih ploskvah osemstrane bipiramide ter izmenoma pobarvani trikotniki na sferi:

    # Ime Slika Tlakovanje Slika
    oglišč
    Coxeter-Dinkinov diagram
    in Schläflijevi simboli
    Število stranskih ploskev po položajih Število elementov
    položaj 2
    CDel node.pngCDel 4.pngCDel node.pngCDel 2.png
    [4]
    (2)
    položaj 1
    CDel node.pngCDel 2.pngCDel node.png
    [2]
    (4)
    položaj 0
    CDel 2.pngCDel node.pngCDel 2.pngCDel node.png
    [2]
    (4)
    Stranske ploskve Robovi Oglišča
    D4 kvadratni dieder CDel node 1.pngCDel 4.pngCDel node.pngCDel 2.pngCDel node.png
    {4,2}
    Regular polygon 4.svg
    {4}
    2 4 4
    H4 kvadratni hozoeder CDel node.pngCDel 4.pngCDel node.pngCDel 2.pngCDel node 1.png
    {2,4}
    Regular digon in spherical geometry-2.svg
    {2}
    4 4 2
    D8 prisekani kvadratni dieder
    (isto kot oktagonalni dieder)
    CDel node 1.pngCDel 4.pngCDel node 1.pngCDel 2.pngCDel node.png
    t{4,2}
    Regular polygon 8.svg
    {8}
    2 8 8
    P4
    [7]
    prisekani kvadratni hozoeder (kocka)
    (kocka)
    Tetragonal prism.png Cube vertfig.png CDel node.pngCDel 4.pngCDel node 1.pngCDel 2.pngCDel node 1.png
    t{2,4}
    Regular polygon 4.svg
    {4}
    Regular polygon 4.svg
    {4}
    6 12 8
    D8 Omniprisekani kvadratni dieder (op)
    (osemstrana prizma)
    Octagonal prism.png Octagonal prism vertfig.png CDel node 1.pngCDel 4.pngCDel node 1.pngCDel 2.pngCDel node 1.png
    t{2,4}
    Regular polygon 8.svg
    {8}
    Regular polygon 4.svg
    {4}
    Regular polygon 4.svg
    {4}
    10 24 16
    A4 prirezani kvadratni dieder (squap)
    (kvadratna antiprizma)
    Square antiprism.png Square antiprism vertfig.png CDel node h.pngCDel 4.pngCDel node h.pngCDel 2x.pngCDel node h.png
    t{2,4}
    Regular polygon 4.svg
    {4}
    Regular polygon 3.svgRegular polygon 3.svg
    2 {3}
      10 16 8

    (5 2 2) D5h diedrska simetrija

    Obstaja 20 osnovnih trikotnikov, ki so vidni na stranskih ploskvah desetstrane bipiramide ter izmenoma obarvani trikotniki na sferi:

    Decagonal bipyramid.png
    # Ime Slika Tlakovanje Slika
    oglišč
    Coxeter-Dinkinov diagram
    in Schläflijevi simboli
    Število stranskih plokev po položaju Število elementov
    položaj 2
    CDel node.pngCDel 5.pngCDel node.pngCDel 2.png
    [5]
    (2)
    položaj 1
    CDel node.pngCDel 2.pngCDel node.png
    [2]
    (5)
    položaj 0
    CDel 2.pngCDel node.pngCDel 2.pngCDel node.png
    [2]
    (5)
    Stranske ploskve Robovo Oglišča
    D5 petstrani dieder CDel node 1.pngCDel 5.pngCDel node.pngCDel 2.pngCDel node.png
    {5,2}
    Regular polygon 5.svg
    {5}
    2 5 5
    H5 petstrani hozoeder CDel node.pngCDel 5.pngCDel node.pngCDel 2.pngCDel node 1.png
    {2,5}
    Regular digon in spherical geometry-2.svg
    {2}
    5 5 2
    D10 prisekani petstrani dieder
    (isto kot dvanajststrani dieder)
    CDel node 1.pngCDel 5.pngCDel node 1.pngCDel 2.pngCDel node.png
    t{5,2}
    Regular polygon 10.svg
    {10}
    2 10 10
    P5 prisekani petstrani hozoeder (pip)
    (isto kot petstrana prizma)
    Pentagonal prism.png Pentagonal prism vertfig.png CDel node.pngCDel 5.pngCDel node 1.pngCDel 2.pngCDel node 1.png
    t{2,5}
    Regular polygon 5.svg
    {5}
    Regular polygon 4.svg
    {4}
    7 15 10
    P10 Omniprisekani petstrani dieder (dip)
    (dekagonalna prizma)
    Decagonal prism.png Decagonal prism vf.png CDel node 1.pngCDel 5.pngCDel node 1.pngCDel 2.pngCDel node 1.png
    t{2,5}
    Regular polygon 10.svg
    {10}
    Regular polygon 4.svg
    {4}
    Regular polygon 4.svg
    {4}
    12 30 20
    A5 prirezani petkotni dieder (pap)
    (petstrana antiprizma)
    Pentagonal antiprism.png Pentagonal antiprism vertfig.png CDel node h.pngCDel 5.pngCDel node h.pngCDel 2x.pngCDel node h.png
    t{2,5}
    Regular polygon 5.svg
    {5}
    Regular polygon 3.svgRegular polygon 3.svg
    2 {3}
      12 20 10

    (6 2 2) D6hdiedrska simetrija

    Obstaja 24 osnovnih trikotnikov , ki se vidijo na stranskih ploskvah dvanajststrane bipiramide in na izmenoma pobarvanimi trikotniki na sferi.

    # Ime Slika Tlakovanje Slika
    oglišč
    Coxeter-Dinkinov diagram
    in Schläflijevi simboli
    Število stranskih ploskev po položaju Število elementov
    položaj 2
    CDel node.pngCDel 6.pngCDel node.pngCDel 2.png
    [6]
    (2)
    položaj 1
    CDel node.pngCDel 2.pngCDel node.png
    [2]
    (6)
    položaj 0
    CDel 2.pngCDel node.pngCDel 2.pngCDel node.png
    [2]
    (6)
    Stranske ploskve Robovi Oglišča
    D6 šeststrani dieder Hexagonal dihedron.png CDel node 1.pngCDel 6.pngCDel node.pngCDel 2.pngCDel node.png
    {6,2}
    Regular polygon 6.svg
    {6}
    2 6 6
    H6 šeststrani hozoeder Hexagonal hosohedron.png CDel node.pngCDel 6.pngCDel node.pngCDel 2.pngCDel node 1.png
    {2,6}
    Regular digon in spherical geometry-2.svg
    {2}
    6 6 2
    D12 prisekani šeststrani dieder
    (isto kot dodekagonalni dieder)
    Dodecagonal dihedron.png CDel node 1.pngCDel 6.pngCDel node 1.pngCDel 2.pngCDel node.png
    t{6,2}
    Regular polygon 10.svg
    {12}
    2 12 12
    H6 prisekani šestrani hozoeder (hip)
    (isto kot šeststrana prizma)
    Hexagonal prism.png Spherical hexagonal prism.png Hexagonal prism vertfig.png CDel node.pngCDel 6.pngCDel node 1.pngCDel 2.pngCDel node 1.png
    t{2,6}
    Regular polygon 6.svg
    {6}
    Regular polygon 4.svg
    {4}
    8 18 12
    P12 Omnipriseksn šeststrani dieder (twip)
    (dvanajststrana prizma)
    Dodecagonal prism.png Spherical truncated hexagonal prism.png Dodecagonal prism vf.png CDel node 1.pngCDel 6.pngCDel node 1.pngCDel 2.pngCDel node 1.png
    t{2,6}
    Regular polygon 10.svg
    {12}
    Regular polygon 4.svg
    {4}
    Regular polygon 4.svg
    {4}
    14 36 24
    A6 prirezani šeststrani dieder (hap)
    (šeststrana antiprizma)
    Hexagonal antiprism.png Spherical hexagonal antiprism.png Hexagonal antiprism vertfig.png CDel node h.pngCDel 6.pngCDel node h.pngCDel 2x.pngCDel node h.png
    t{2,6}
    Regular polygon 6.svg
    {6}
    Regular polygon 3.svgRegular polygon 3.svg
    2 {3}
      14 24 12

    Sklici

    Glej tudi

    Zunanje povezave